Herr Kramer meldet sich mit einer typischen Frage aus dem Alltag: Wie lassen sich eine kleine Zahlenliste sauber auswerten, damit Durchschnitt, Median und Streuung verständlich werden? Im folgenden Beispiel zeigen wir den Weg Schritt für Schritt mit denselben Grundbegriffen, die auch in Schule, Studium und Beruf regelmäßig genutzt werden.
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So haben wir geholfen
1. Die Anfrage von Herrn Kramer
Herr Kramer möchte eine kurze, aber vollständige Orientierung zu den wichtigsten Kennzahlen. Ihm geht es nicht nur um den Durchschnitt, sondern auch um die Frage, wie stark einzelne Werte um diesen Mittelpunkt streuen.
Als Beispiel nutzen wir die kleine Zahlenreihe:
1, 2, 3
Die Reihe ist bewusst einfach gewählt. So wird schnell sichtbar, wie sich die einzelnen Rechenschritte aufbauen und zusammenhängen.
2. So haben wir den Mittelwert bestimmt
Beim arithmetischen Mittel werden alle Werte addiert und durch die Anzahl geteilt. Das Ergebnis zeigt den mathematischen Mittelpunkt der Zahlenreihe.
\(\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3}{3} = \frac{6}{3} =\) 2
Für Herrn Kramer ist damit der erste Orientierungspunkt klar: Der durchschnittliche Wert liegt bei 2.
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3. So haben wir den Median eingeordnet
Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Liste. Er reagiert weniger empfindlich auf Ausreißer als der Mittelwert. In diesem Beispiel ist die Reihenfolge bereits sortiert: 1, 2, 3.
Median = 2
Damit stimmen Mittelwert und Median hier überein. Bei schiefen Verteilungen kann das deutlich anders aussehen.
4. So haben wir Varianz und Standardabweichung erklärt
Als Nächstes wollte Herr Kramer wissen, wie weit die Werte vom Mittelwert entfernt sind. Dafür betrachtet man die Abweichungen zum Mittelwert \(\bar{x}=2\), quadriert diese und bildet daraus den Durchschnitt.
\((1-2)^2 = 1\) ; \((2-2)^2 = 0\) ; \((3-2)^2 = 1\)
\(\mathrm{Var} = \frac{1+0+1}{3} = \frac{2}{3} \approx\) 0,6667
\(\sigma = \sqrt{0{,}6667} \approx\) 0,8165
Die Varianz beschreibt die mittlere quadrierte Abweichung, die Standardabweichung ist ihre Wurzel und damit wieder in der Originaleinheit.
Für Stichproben wird häufig die korrigierte Varianz genutzt. Dabei teilt man durch \(n-1\) statt durch \(n\):
\(\mathrm{Var}_{korr} = \frac{1+0+1}{3-1} = 1\)
\(\sigma_{korr} = \sqrt{1} = 1\)
So erhält Herr Kramer nicht nur einen einzelnen Kennwert, sondern ein vollständiges Bild aus Lage und Streuung der Daten.
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Quellenangaben
Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Mittelwert" verwendet:
Letzte Aktualisierung
Diese Seite der Themenwelt "Mittelwert" wurde von mir, Stefan Banse, zuletzt am 30.03.2026 redaktionell überprüft oder ergänzt. Sie entspricht dem aktuellen Stand.
Änderungen in Themenwelt "Mittelwert"
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- Neu: Ratgeber zu arithmetischem Mittel, Median, Varianz, Varianz-Formel und Standardabweichung.
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