Bruchrechnen

Bruchrechnen - mit Rechner, Regeln, Beispielen

Thema Bruchrechnen ﹣ Rechner

Was ist ein Bruch? Was sind Zähler und Nenner? Was sind echte, unechte und gemischte Brüche? Wie addiert man Brüche? Wie multipliziert bzw. dividiert man Brüche? Die Beantwortung dieser Fragen und viele Beispiele zum Bruchrechnen finden Sie hier in der Themenwelt Bruchrechnen. Anhand des Bruchrechners können Sie beliebige Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Die Bruchberechnung wird detailliert hergeleitet. Dabei wird u.a. auf das Erweitern und Kürzen von Brüchen oder das gleichnamig Machen zweier Brüche für die Addition eingegangen. Der Kehrbruch bei der Division wird genauso berücksichtigt wie das abschließende Umwandeln eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch.

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Erklärungen und Beispiele zum Thema Bruchrechnen

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Eingabehilfe zum Bruchrechner

Mit Hilfe des Bruchrechners können zwei Brüche über alle vier Grundrechenarten miteinander verknüpft werden. Dabei können sowohl gemeine als auch gemischte Brüche miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert bzw. dividiert werden. Alle für die Berechnung der Ergebnisses geeigneten Umformungen der Brüche werden im Ergebnisfenster Schritt für Schritt dargestellt und hergeleitet.

Gewöhnliche oder gemischte Brüche

Bruchrechnen: Gewöhnliche oder gemischte Brüche Wählen Sie bitte aus, ob Sie gewöhnliche Brüche oder gemischte Brüche zur Berechnung eingeben möchten. Im Folgenden erhalten Sie weitere Informationen zum Unterschied zwischen gewöhnlichen und gemischten Brüchen.

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Was sind Brüche?

Brüche bilden eine besondere Schreibweise für die Division, wobei der oberhalb des Bruchstrichs stehende Zähler durch den unterhalb des Bruchstrichs stehenden Nenner bzw. Teiler geteilt wird. Anhand dieser Schreibeweise kann man beispielswiese die Addition zweier Divisionen und damit die Addition zweier Brüche mit Hilfe bestimmter Regeln für das Bruchrechnen durchführen, auf die wir im Weiteren eingehen werden. Zuächst werden hier die Definitionen verschiedener Arten von Brüchen erklärt.

Was ist ein echter Bruch?

Ein echter Bruch stellt den Bruchteil eines Ganzen dar. Der unten stehende Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt worden ist. Der oben stehende Zähler gibt an, wie viele Teile davon gemeint sind. So kann man sich beispielsweise ¾, also drei Viertel als drei Stücke Pizza vorstellen, wobei die Pizza insgesamt in vier Stücke, also in vier Viertel aufgeteilt wurde.

Beispiel

34 ist ein echter Bruch, denn 3 ÷ 4 = 0,75 ist kleiner 1, also ein echter Bruchteil eines Ganzen.

Was ist ein unechter Bruch?

Ein unechter Bruch liegt vor, wenn der Betrag des Zählers größer oder gleich dem Nenner ist. Dann ist das Ergebnis nicht mehr ein Bruchteil eines Ganzen, sondern größer gleich eins.

Beispiel

54 ist ein unechter Bruch, denn 5 ÷ 4 = 1,75 ist größer 1, also kein Bruchteil eines Ganzen.

Was ist ein gemeiner (gewöhnlicher) Bruch?

Ein gemeiner Bruch, auch gewöhnlicher Bruch genannt, hat die Darstellung Zähler-Bruchstrich-Nenner.

Beispiel

34 oder 54 sind gemeine bzw. gewöhnliche Brüche.

Was ist ein gemischter Bruch?

Ein gemischter Bruch, auch gemischte Zahl genannt, setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem gemeinen Bruch zusammen. Dabei werden die ganze Zahl und der Bruch addiert. Zum Beispiel ist der gemischte Bruch 2¼ = 2 + ¼. Während sowohl der echte als auch der unechte Bruch gewöhnliche bzw. gemeine Brüche sind, ist der gemischte Bruch, wie bereits beschrieben, die Zusammensetzung einer ganzen Zahl und eines gemeinen Bruchs, welche miteinander addiert werden. Einen unechten Bruch kann man auf diese Weise aufspalten in seinen ganzzahligen Anteil und dem verbleibenden echten Bruch. Beispielsweise kann der unechte Bruch 3/2 aufgesplittet werden in 1 und ½, also zum gemischten Bruch 1½ umgeformt werden.

Beispiel

114 ist ein gemischter Bruch.

Was ist ein Dezimalbruch?

Einen Bruch, dessen Nenner 10, 100, 1.000 usw. ist, also einen Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz bildet, nennt man Dezimalbruch (Zehnerbruch). In vielen Fällen kann man einen Bruch durch Erweitern oder Kürzen zu einem Dezimalbruch umformen, sofern die Umformung zu einem Nenner in Zehnerpotenz führt. Jeder Dezimalbruch kann auch in eine Dezimalzahl, also eine "Kommazahl" umgeformt werden und umgekehrt. Beispielsweise sind 43/100 = 0,43.

Beispiel

3100 oder 541000 sind Dezimalbrüche.

Video zu echten, unechten und gemischten Brüchen

Hier noch ein Video zu echten, unechten und gemischten Brüchen von Lehrer Schmidt. Im Video werden die Begriffe für die verschiedenen Brüche genau erklärt. Ab 4:28 zeigt Lehrer Schmidt, wie echte Brüche gekürzt werden. Ab 5:45 werden unechte Brüche zu gemischten Brüchen umgeformt und ab 9:23 werden gemischte Brüche zu unechten Brüchen umgerechnet.

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Wie werden Brüche umgeformt?

Umformungen von Brüchen, also Änderungen von Brüchen ohne deren Wert (Bruchzahl) zu ändern, sind meist die Voraussetzung dafür, dass mit Brüchen gerechnet werden kann. Beispielsweise ist es zur Addition und zur Subtraktion von Brüchen notwendig, die beiden Brüche zunächst gleichnamig zu machen, was wiederum das Erweitern oder Kürzen der Brüche erforderlich macht. Diese und weitere Umformungen werden im Folgenden erläutert. Die hier vorgestellten Umformungen werden auch im Ergebnisfenster des Bruchrechners hinter den entsprechenden Info-Buttons detailliert und passend zur jeweiligen Bruchrechnung erklärt.

Wie werden Brüche erweitert?

Brüche erweitert man, indem man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Dies dient der Umformung eines Bruchs, bei dem der Wert des Bruchs, also die Bruchzahl nicht verändert wird. Denn der vom Bruch dargestellte Anteil wird nur in kleinere Abschnitte unterteilt. Die Einteilung wird daher verfeinert. Eine Erweiterung dient zum Beispiel bei einer Addition zweier Brüche dazu, den kleineren Nenner des einen Bruchs zusammen mit seinem Zähler so zu vervielfachen, dass er dem größeren Nenner des anderen Bruchs gleicht.

Beispiel: Erweitern von Brüchen

  • Um den Bruch 34 um 5 zu erweitern, werden Zähler und Nenner mit 5 multipliziert und man erhält 3 × 54 × 5 = 1520.
  • Der Bruch 34 wurde also mit 5 erweitert zu 1520, wobei die beiden Brüche den gleichen Wert beibehalten.

Wie werden Brüche gekürzt?

So, wie man Brüche erweitern kann, kann man sie auch kürzen: Brüche kürzt man, indem man sowohl den Zähler als auch den Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Der Wert des Bruchs bzw. die Bruchzahl wird dadurch nicht verändert, denn der vom Bruch dargestellte Anteil wird nur in größere Abschnitte unterteilt. Die Einteilung wird also vergröbert. Auch das Kürzen dient z.B. dem im Weiteren beschriebenen gleichnamig machen für die Addition und Subtraktion von Brüchen. Auch möglicherweiser große Zähler und Nenner im Ergebnis nach der Multiplikation zweier Brüche können durch Kürzen zu kleineren Werten umgeformt werden.

Beispiel: Kürzen von Brüchen

  • Um den Bruch 1040 um 5 zu kürzen, werden Zähler und Nenner durch 5 dividiert und man erhält 10 ÷ 540 ÷ 5 = 28
  • 1040 wurde also mit 5 gekürzt zu 28, wobei beide Brüche den gleichen Wert beibehalten.
  • 28 könnte sogar nochmals um 2 gekürzt werden, so dass man 14 erhält, was dann nicht weiter kürzbar ist.

Video zum Kürzen und Erweitern von Brüchen

Im Folgenden ein kurzes Video zum Kürzen und Erweitern von Brüchen von Lehrer Schmidt. Im Video wird bis 1:59 das Erweitern von Brüchen erklärt. Ab 2:00 folgt das Kürzen von Brüchen und ab 3:30 erklärt Lehrer Schmidt, wozu man das Kürzen und Erweitern von Brüchen braucht.

Wozu der größte gemeinsame Teiler beim Kürzen?

Um im Laufe einer Berechnung mit möglichst kleinen, also handlichen Zahlen weiter zu rechnen, sollten die Brüche auch möglichst stark gekürzt werden. Dies erzielt man, indem der Zähler und den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt werden.

Beispiel: Kürzen mit größtem gemeinsamen Teiler

  • Im obigen Beispiel mit dem Bruch 1040 ist der größte gemeinsame Teiler von 10 und die 40 die 10.
  • Man kann also den Bruch gleich mit 10 kürzen, um abschließend den nicht weiter kürzbaren Bruch ¼ zu erhalten. Dann haben Zähler und Nenner bis auf die 1 keinen weiteren gemeinsamen Teiler mehr.

Video zum größten gemeinsamen Teiler (ggT)

Nun noch ein Video zum größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Lehrer Schmidt. Nach einer Einleitung zum ggT, folgen ab 0:43 mehrere Beispiele zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers anhand der beiden Teilermengen von Zähler und Nenner. Ab 4:42 wird gezeigt, wie der ggT alternativ über die Primfaktorzerlegung berechnet werden kann.

Wie macht man Brüche gleichnamig?

Gemeine Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamig. Werden Brüche so erweitert, dass sie danach die gleichen Nenner haben, so nennt man das gleichnamig machen. Zwei Brüche lassen sich zum Beispiel gleichnamig machen, indem man den einen Bruch mit dem Nenner des jeweils anderen erweitert. Man multipliziert also sowohl den Zähler als auch den Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs. Da hierdurch die beiden Nenner immer miteinander multipliziert werden, können die Werte der erweiterten Brüche oft sehr groß werden, was die weitere Berechnung aufwändiger machen könnte. Beim praktischen Rechnen sollte daher zum gleichnamig Machen der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) der Brüche bestimmt werden. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner, welches oft kleiner als die Multiplikation der beiden Nenner ist. Darauf gehen wir im nächsten Abschnitt noch genauer ein.

Das gleichnamig Machen dient zum Beispiel der Addition und Subtraktion von Brüchen: Sind die beiden Brüche gleichnamig, können die Zähler der beiden Brüche addiert bzw. subtrahiert werden, während der bei beiden Brüchen gleiche Nenner unverändert bleibt.

Beispiel: Gleichnamig machen von Brüchen

  • Die Brüche 16 und 38 sollen gleichnamig gemacht werden.
  • Erweitern des linken Bruchs 16 mit 8, also mit dem Nenner des rechten Bruchs.
  • Erweitern des rechten Bruchs 38 mit dem Nenner 6 des linken Bruchs.
  • So erhält man die gleichnamigen Brüche 848 und 1848.

Wozu der kleinste gemeinsame Nenner beim gleichnamig Machen?

Um beim gleichnamig Machen im Laufe einer Berechnung mit möglichst kleinen, handlichen Zahlen weiter zu rechnen, sollte ein möglichst kleiner gemeinsamer Nenner bestimmt werden. Dieser, auch Hauptnenner genannte Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner.

Beispiel: Gleichnamig mit kleinstem gemeinsamen Nenner

  • Im obigen Beispiel mit den Brüchen 16 und 38 ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner 6 und die 8 die 24.
  • Man kann also den linken Bruch nur mit 4, statt z.B. mit 8 erweitern sowie den rechten Bruch mit 3 statt mit z.B. 6 erweitern.
  • So erhält man die gleichnamigen Brüche 424 und 924 mit 24 als den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Video zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV)

Ergänzend zum vorherigen Abschnitt ein Video zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von Lehrer Schmidt. Zunächst wird die Berechnung des kgV anhand der Vielfachen jedes einzelnen Nenners erklärt. Ab 5:07 folgt die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen anhand der Primfaktorzerlegung, welche sich besonders zur Berechnung des KgV bei etwas größeren Zahlen eignet.

Wie bildet man den Kehrwert eines Bruchs?

Den Kehrwert eines Bruches erhält man, indem man den Zähler und den Nenner des Bruches vertauscht. So erhält man den Kehrbruch. Möchte man einen Bruch durch einen anderen Bruch teilen, so kann man auch aus einem Bruch den Kehrbruch bilden und die beiden Brüche dann miteinander multiplizieren.

Beispiel: Bruchrechnen mit Kehrbruch

34  ÷  13  =  34  ×  31

Wie rechnet man einen Bruch in eine Dezimalzahl um?

Zur Berechnung der Dezimalzahl zu einem Bruch, kann einfach der Zähler duch den Nenner geteilt werden.

Beispiel: Umrechnung Bruch zu Dezimalzahl

34  = 3 ÷ 4 = 0,75

Wie formt man einen unechten Bruch zu einen gemischten Bruch um?

Ein unechter Bruch kann in seinen ganzzahligen Anteil und dem verbleibenden echten Bruch zerlegt werden. Der ganzzahlige Anteil ist der ganzzahlige Anteil der Division von Zähler durch Nenner. Den verbleibenden echten Bruch erhält man durch die Division mit Rest (Modulo-Rechnung) von Zähler durch Nenner.

Beispiel: Unechten Bruch zu gemischten Bruch umformen

  • 54  = 5 ÷ 4 = 1,25 ⇒ Der ganzzalige Anteil des gemischten Bruchs ist 1
  • 5 modulo 4 = 0,25 ("Der Rest von 5 ÷ 4 ist 0,25")
  • 0,25 = 25100 = 14 ⇒ Der echte Bruch des gemischten Bruchs ist ¼.
  • Der gemischte Bruch ist 114.

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Wie werden Brüche addiert?

Brüche werden addiert, indem sie zunächst gleichnamig gemacht werden. Die Zähler werden addiert, während der gemeinsame Nenner unverändert bleibt.

Beispiel für die Addition von Brüchen

34 + 13 = 912 + 412 = 9+412 = 1312 = 1112

Eine ausführlichere Beschreibung der Regeln für die Addition von Brüchen und ein umfassendes Beispiel finden Sie in unserem Artikel zum Thema Brüche addieren.

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Wie werden Brüche subtrahiert?

Brüche werden subtrahiert, indem sie zunächst gleichnamig gemacht werden. Die Zähler werden subtrahiert, während der gemeinsame Nenner unverändert bleibt.

Beispiel für die Subtraktion von Brüchen

3413 = 912412 = 9−412 = 512

Eine ausführlichere Beschreibung der Regeln für die Subtraktion von Brüchen und ein umfassendes Beispiel finden Sie in unserem Artikel zum Thema Brüche subtrahieren.

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Wie werden Brüche multipliziert?

Brüche werden multipliziert, indem jeweils die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinander multipliziert werden.

Beispiel für die Multiplikation von Brüchen

34 × 13 = 3×14×3 = 312

Eine ausführlichere Beschreibung der Regeln für die Multiplikation von Brüchen und ein umfassendes Beispiel finden Sie in unserem Artikel zum Thema Brüche multiplizieren.

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Wie werden Brüche dividiert?

Brüche werden dividiert, indem der eine Bruch mit dem Kehrwert des anderen Bruchs multipliziert wird.

Beispiel für die Division von Brüchen

34 ÷ 13 = 34 × 31 = 3×34×1 = 94

Eine ausführlichere Beschreibung der Regeln für die Division von Brüchen und ein umfassendes Beispiel finden Sie in unserem Artikel zum Thema Brüche dividieren.

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Wie rechnet der Bruchrechner?

Der Bruchrechner beherrscht alle hier vorgestellten Grundrechenarten zur Berechnung von Brüchen. Dabei ordnet der Bruchrechner in einem ersten Schritt zunächst die eventuell vorhandenen negativen Vorzeichen der eingegebenen Brüche. Sollten gemischte Brüche eingegeben worden sein, formt der Bruchrechner diese dann in ungemischte Brüche um. Im nächsten Berechnungsschritt werden die Brüche weitestgehend durch den Rechner gekürzt.

Sind die Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, macht der Bruchrechner die beiden Brüche gleichnamig und addiert bzw. subtrahiert dann die Zähler. Falls eine Multiplikation bzw. Division der beden Brüche erfolgen soll, führt der Rechner dies sowohl für den Zähler als auch für den Nenner durch, wobei bei der Division zunächt der Kehrbruch einer der beiden Brüche erzeugt wird.

Das so berechnete Ergebnis ist bei einigen Berechnungen noch ein unechter Bruch. Dieser Bruch wird vom Bruchrechner schließlich zu einem gemischten Bruch umgewandelt.

Beispielrechnung durch den Bruchrechner

Aufgabe

1−5−8 + 224

1. Negative Vorzeichen sortieren

In diesem Schritt entfernt der Bruchrechner die negativen Vorzeichen der Brüche mit sowohl negativem Zähler also auch negativem Nenner. Zudem macht der Rechner bei nur negativem Nenner stattdessen den jeweiligen Zähler negativ.

  • Wenn bei Brüchen sowohl der Zähler also auch der Nenner negativ sind, können die beiden negativen Vorzeichen entfernt werden. Denn die Division zweier negativer Werte führt genauso zu einem positiven Erghenis, wie die Division zweier positiver Werte ("Minus geteilt durch Minus ergibt Plus").
  • Wenn bei Brüchen nur der Nenner negativ ist, kann das negative Vorzeichen stattdessen vor den Zähler gesetzt werden. Denn die Division eines positiven durch einen negativen Wert führt ebenso zu einem negativen Ergebnis, wie umgekehrt die Division eines negativen Werts durch einen positiven Wert.

Diese Umformungen dienen einer besseren Ordnung und damit für die folgenden Berechnungen einer besseren Übersichtlichkeit.

158 + 224

2. Gemischte Brüche in ungemischte umwandeln

Die bisher gemischten Brüche werden vom Bruchrechner hier zu ungemischten Brüchen umgeformt, d.h. die ganze Zahl vor dem Bruch wird zum dazugehörigen Bruch addiert:

  • Die ganze Zahl zum links stehenden Bruch, also die 1 wird zunächst zu 8/8 umgewandelt und dann zum dazugehörigen Bruch addiert.
  • Die ganze Zahl zum rechts stehenden Bruch, also die 2 wurde zunächst zu 8/4 umgewandelt und dann zum dazugehörigen Bruch addiert.

138 + 104

3. Brüche kürzen

Hier wird der rechte Bruch durch den Bruchrechner gekürzt. Um im weiteren Verlauf mit möglichst kleinen Zahlen weiter zu rechnen, sollten die Brüche möglichst gekürzt werden, indem der Zähler und den Nenner jedes Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt werden.

Der linke Bruch kann nicht gekürzt werden, denn dessen Zähler und Nenner haben bis auf die Eins keinen gemeinsamen Teiler.

Der größte gemeinsame Teiler des rechten Bruchs, also der größte gemeinsame Teiler vom Zähler 10 und vom Nenner 4 beträgt 2. Daher kann man sowohl den Zähler als auch den Nenner zum Kürzen des Bruchs durch 2 teilen: 104 = 52

138 + 52

4. Brüche gleichnamig machen

Zur Addition der beiden Brüche, macht der Bruchrechner diese gleichnamig. Dazu wird hier das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner berechnet. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner 8 und 2 beträgt 8.

  • Der linke Bruch wird daher um 1 erweitert, also der Zähler 13 mit 1 multipliziert und der Nenner 8 mit 1 multipliziert, damit der Nenner den Wert 8 erhält.
  • Der rechte Bruch wurde um 4 erweitert, also der Zähler 5 mit 4 multipliziert und der Nenner 2 mit 4 multipliziert, damit auch hier der Nenner den Wert 8 erhält.

138 + 208

5. Gleichnamige Brüche addieren

Dies führt zum Zwischenergebnis der eingegebenen Bruchaufgabe. Hierzu addiert der Bruchrechner die Zähler der beiden gleichnamigen Brüche. Der Nenner bleibt dabei unverändert.

13 + 208 = 338

6. Ergebnis (Abschließend unechte Brüche zu gemischten umrechnen)

Dies ist schließlich das Ergebnis der eingegebenen Bruchrechenaufgabe. Hier rechnet der Bruchrechner den unechten Bruch des Zwischenergebnisses abschließend in den entsprechenden gemischten Bruch um. Dieser gemischte Bruch wird durch Division mit Rest (Modulo-Rechnung) von Zähler durch Nenner des unechten Bruchs berechnet:

33 ÷ 8 = 4 Rest 1

Also besteht der gemischte Bruch aus dem ganzzahligen Anteil 4 und dem restlichen Anteil von 18.

= 418

Quellenangaben

Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Bruchrechnen" verwendet:

Letzte Aktualisierung am 06.05.2022

Die letzten Änderungen in der Themenwelt "Bruchrechnen" wurden am 06.05.2022 umgesetzt durch Michael Mühl. Hauptsächlich wurde folgendes aktualisiert:

  • 06.05.2022: Veröffentlichung des Bereichs Bruchrechnen nebst dazugehöriger Texte.
  • Redaktionelle Überarbeitung aller Texte in dieser Themenwelt
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