Bruchrechnen

Addieren von Brüchen

Thema Bruchrechnen ﹣ Brüche addieren

Auf dieser Seite erfahren Sie alles zur Addition verschiedenster Arten von Brüchen, beginnend mit der einfachen Addition gleichnamiger Brüche über die Addition ungleichnamiger Brüche bis hin zur Addition gemischter Brüche und der Umformung ganzer Zahlen in Brüche. Ein Video zur Addition von Brüchen rundet das Thema ab. Mit dem Rechner zum Addieren von Brüchen können Sie beliebige Berechnungen durchführen.

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Auf der Hauptseite zum Thema Bruchrechnen erhalten Sie übrigens zahlreiche allgemeine Informationen zu Brüchen und deren Umformungen. Möchten Sie erfahren, wie die übrigen Rechenoperationen zu Brüchen funktionieren, besuchen Sie hier unsere Ratgeber zu den Themen Brüche subtrahieren, Brüche multiplizieren oder Brüche dividieren.

Inhalte zum Thema "Brüche addieren"

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Wie addiert man Brüche?

Brüche werden addiert, indem sie zunächst gleichnamig gemacht werden und dann die Zähler addiert werden. Jeder Bruch wird also zunächst so erweitert, dass dadurch alle zu addierenden Brüche den gleichen Nenner erhalten. Die Zähler der gleichnamigen Brüche werden dann addiert, während der gemeinsame Nenner unverändert bleibt.

Im Folgenden gehen wir schrittweise vor und zeigen anhand von Beispielen zunächst die Addition gleichnamiger Brüche, dann das Addieren ungleichnamiger Brüche und schließlich die Addition gemischter Brüche.

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Wie addiert man gleichnamige Brüche?

Sind die zu addierenden Brüche bereits gleichnamig, das heißt sie haben alle den gleichen Nenner, dann müssen lediglich die Zähler der zu addierenden Brüche addiert werden. Der gemeinsame Nenner bleibt unverändert. So erhält man schließlich die Summe der Brüche.

Beispiel: Addition gleichnamiger Brüche
14 + 24 = 1 + 24 = 34

In diesem Beispiel haben beide Brüche den gleichen Nenner, also beide die gleiche Zahl unterhalb des Bruchstrichs: Beide Brüche stellen hier eine bestimmte Anzahl von Vierteln dar. Sie sind damit gleichnamig. Zur Addition der beiden Brüche müssen nur noch die beiden Anzahlen, also die beiden oberhalb des Bruchstrichs stehenden Zähler addiert werden.

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Wie addiert man ungleichnamige Brüche?

Brüche sind ungleichnamig, wenn die Zahlen unterhalb des Bruchstrichs, also die Nenner der zu addierenden Brüche unterschiedlich sind. Ungleichnamige Brüche müssen für die Addition der Brüche, genauso wie bei der Subtraktion von Brüchen zunächst gleichnamig gemacht werden. Sobald sie gleichnamig sind, also den gleichen Nenner haben, müssen nur noch die oberhalb des Bruchstrichs stehenden Zähler summiert werden und der gemeinsame Nenner bestehen bleiben.

Beispiel: Addition ungleichnamiger Brüche
13 + 14 = 412 + 312 = 4 + 312 = 712

Die beiden hier zu addierenden Brüche haben zunächst die unterschiedlichen Nenner 3 und 4. Sie müssen zur Addition zunächst gleichnamig gemacht werden. Dazu müssen beide Brüche so umgeformt werden, dass sie den gleichen, also einen gemeinsamen Nenner erhalten. Umformen bedeutet dabei, dass die Brüche so umgeformt werden, dass sich Ihr Wert nicht ändert. Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umformung von Brüchen, die auf der Einstiegsseite zum Thema Bruchrechnen beschrieben werden.

Gleichnamig machen

Zwei Brüche können gleichnamig gemacht werden, indem man den einen Bruch mit dem Nenner des jeweils anderen erweitert. Man multipliziert also sowohl den Zähler als auch den Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs.

Erweitern

Das Erweitern eines Bruchs ist eine Umformung, bei dem der Wert des Bruchs, also die Bruchzahl nicht verändert wird. Denn der vom Bruch dargestellte Anteil wird nur in kleinere Abschnitte unterteilt der Bruch bzw. die Einteilung wird also verfeinert.

Brüche erweitert man, indem man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.

Gleichnamig machen anhand des Beispiels

Die beiden Brüche aus obigem Beispiel werden somit folgendermaßen gleichnamig gemacht.

Der linke Bruch wird mit dem Nenner 4 des rechten Bruchs erweitert. Zähler und Nenner des linken Bruchs werden also mit 4 multipliziert.

13 = 1 × 43 × 4 = 412

Der rechte Bruch wird mit dem Nenner 3 des linken Bruchs erweitert. Zähler und Nenner des rechten Bruchs werden also mit 3 multipliziert.

14 = 1 × 34 × 3 = 312

Nun können die beiden gleichnamigen Brüche, wie im Beispiel addiert werden:

412 + 312 = 4 + 312 = 712

Hinweis

Das beschriebene gleichnamig Machen beruht darauf, die beiden Brüche so zu erweitern, dass die beiden unterschiedlichen Nenner schließlich miteinander multipliziert werden. Dies führt jedoch häufig dazu, dass die Werte der erweiterten Brüche sehr groß werden können, was die darauf folgenden Berechnungen aufwändiger macht. Daher sollte zum gleichnamig Machen der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) der Brüche bestimmt werden. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner und somit häufig kleiner als die Multiplikation der beiden Nenner. Mehr zum kleinsten gemeinsamen Nenner können Sie unter Bruchrechnen nachlesen.

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Wie addiert man gemischte Brüche?

Gemischte Brüche setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem gewöhnlichen Bruch zusammen. Sie werden auch gemischte Zahlen genannt. Zur Addition gemischter Brüche wandelt man die ganze Zahl zunächst in den jeweils dazugehörigen Bruch um, so dass in der Folge die beiden Brüche miteinander addiert werden können. Dazu müssen diese, wie bei jeder Addition von Brüchen, gegebenenfalls noch gleichnamig gemacht werden, um schließlich die Zähler bei gleichbleibendem Nenner zu addieren.

Beispiel: Addition gemischter Brüche
213 + 223 = 73 + 83 = 153 = 5

Der ganzzahlige Teil der beiden gemischten Brüche, also jeweils die Zwei wurde hier in jeweils 6 Drittel umgewandelt und zu dem dazugehörigen Bruch addiert. Die gemischten Brüche wurden also in unechte Brüche umgewandelt. Brüche heißen unecht, wenn der Zähler größer ist als der Nenner.

Umwandlung gemischter in unechte Brüche

Man wandelt eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch um, indem man die ganze Zahl mit dem Nenner multipliziert und dann den Zähler dazu addiert. Der Nenner bleibt gleich.

Umwandlung anhand des Beispiels

Die beiden gemischten Brüche aus obigem Beispiel werden somit folgendermaßen in unechte Brüche umgewandelt.

Die linke gemischte Zahl wird folgendermaßen umgeformt: Die ganze Zahl 2 wird mit dem Nenner 3 multipliziert und zum bisherigen Zähler 1 addiert.

213 = 2 × 3 + 13 = 73

Die rechte gemischte Zahl wird folgendermaßen umgeformt: Die ganze Zahl 2 wird mit dem Nenner 3 multipliziert und zum bisherigen Zähler 2 addiert.

223 = 2 × 3 + 23 = 83

Addition der beiden Brüche

Da die beiden umgeformten Brüche bereits gleichnamig sind, können sie nun addiert werden.

73 + 83 = 7 + 83 = 153

Umrechnung von unechtem Bruch in gemischten Bruch

Schließlich wird der unechte Bruch des Ergebnisses noch in einen gemischten Bruch zurückgerechnet. Dazu wird geprüft, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Dies ist dann die ganze Zahl des gemischten Bruchs. Der Rest wird als Bruch mit dem vorhandenen Nenner notiert.

153 + 303 = 3
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Video zum Thema Brüche addieren

Zu guter Letzt noch ein Video zum Thema Brüche addieren von Lehrer Schmidt. Im Video wird nach einer Einführung zunächst die Addition gleichnamiger Brüche erklärt. Ab 6:59 erklärt Lehrer Schmidt das Addieren ungleichnamiger Brüche. Nach ausführlichen Beschreibungen zum Kürzen von Brüchen ab 15:11, wird schließlich das Addieren gemischter Brüche bzw. gemischter Zahlen ab 17:45 umfassend besprochen.

Quellenangaben

Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Bruchrechnen" verwendet:

Letzte Aktualisierung am 06.05.2022

Die letzten Änderungen in der Themenwelt "Bruchrechnen" wurden am 06.05.2022 umgesetzt durch Michael Mühl. Hauptsächlich wurde folgendes aktualisiert:

  • 06.05.2022: Veröffentlichung des Bereichs Bruchrechnen nebst dazugehöriger Texte.
  • Redaktionelle Überarbeitung aller Texte in dieser Themenwelt
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