Zylinder berechnen

Zylinderberechnung - Berechnung von Volumen, Mantelfläche, Oberfläche, Umfang und Durchmesser

Thema Zylinder ﹣ Rechner

Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders? Was ist die Mantelfläche eines Zylinders? Wie groß ist die Oberfläche eines Zylinders? Hier finden Sie alles zum Thema Zylinder: Definitionen, Formeln und Berechnungen für das Volumen, die Mantelfläche, die Oberfläche, die Zylinderhöhe sowie zum Radius, Durchmesser und Umfang eines Zylinders. Mit Hilfe des Rechners für die Zylinderberechnung können Sie all diese Zylindereigenschaften von der Höhe über das Volumen des Zylinders bis hin zur Zylinder-Grundfläche berechnen. Jede der Zylindereigenschaften wird im Anschluss anhand von Berechnungsbeispielen mit Hilfe der passenden Zylinderformeln anschaulich hergeleitet.

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Eingabehilfe zum Zylinder-Rechner für die Berechnung von Volumen, Grundfläche, Höhe, Mantelfläche und mehr

Der Rechner zur Zylinderberechnung enthält mehrere Eingabefelder, welche im Folgenden genauer erläutert werden:

Größeneinheit

Zylinderberechnung: Größeneinheit Wählen Sie hier die passende Größeneinheit aus, um diese für die entsprechenden Eingabefelder und Ergebnisse anzeigen zu lassen. Auswählen könnnen Sie mm, cm, dm, m und km.

Erste Zylindereigenschaft wählen: Radius, Durchmesser, Umfang oder Grundfläche

Zylinderberechnung: Radius, Durchmesser, Umfang oder Grundfläche Wählen Sie bitte eine der vier Eigenschaften Radius, Durchmesser, Umfang oder Flächeninhalt aus und geben Sie den Wert dazu ein. Zur Berechnung von Zylindern gehört zum einen die Berechnung der beiden Grundflächen. Am Beispiel einer Getränkedose bilden der Boden und der Deckel diese Grundflächen. Für die hiermit erforderliche Kreisberechnung zur Berechnung der kreisrunden Zylinder-Grundflächen reicht es aus, wenn eine der vier Eigenschaften bekannt ist.

Zweite Zylindereigenschaft wählen: Höhe, Volumen oder Mantelfäche

Zylinderberechnung: Höhe, Volumen oder Mantelfäche Wählen Sie bitte eine der drei Eigenschaften Höhe, Volumen oder Mantelfläche aus und geben Sie den Wert dazu ein. Nach der Berechnung des kreisrunden Grundflächeninhalts mittels Radius, Durchmesser, Umfang oder Flächeninhalt ist hier noch die Angabe einer weiteren Eigenschaft notwendig, um den Mantel des Zylinders und in der Folge alle geometrischen Eigenschaften des Zylinders zu berechnen. Zu vollständigen Zylinderberechnung reicht es aus, wenn noch eine der drei Eigenschaften Höhe, Volumen oder Mantelfläche bekannt ist.

Skizze

Zylinderberechnung: Skizze Die Skizze zeigt Ihnen die Kombination der beiden ausgewählten Zylindereigenschaften an. So können sie sich ein Bild davon machen, wie Radius, Durchmesser, Umfang, Grundfläche, Höhe, Volumen und Mantelfläche des Zylinders definiert sind. Die Anzeige wechselt, sobald Sie eine andere Zylindereigenschaft auswählen.

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Definition Zylinder

Definition Zylinder Ein Zylinder (Kreiszylinder) ist ein geometrischer Körper. Er wird gebildet durch zwei parallele, gleich große, kreisrunde Grundflächen, die durch einen Mantel miteinander verbunden sind. Typische Beispiele für Zylinderformen sind eine Getränkedose, ein Getreidesilo oder ein Trinkglas.

Wichtigte Eigenschaften eines Zylinders sind der Radius, der Durchmesser, der Umfang, die Grundfläche, die Zylinderhöhe, das Volumen des Zylinders, die Mantelfläche sowie die Oberfläche des Zylinders. Die Berechnung dieser Zylindereigenschaften und deren Umrechnung anhand von Zylinderformeln kann mit dem Zylinder-Rechner bequem durchgeführt werden und wird im Folgenden weiter vertieft.

Der Radius eines Zylinders

Der Radius der kreisrunden Grundfläche des Zylinders ist der Abstand vom Mittelpunkt zum äußeren Rand dieser Grundfläche. Der Zylinderadius beschreibt daher den Abstand von der Mittelachse des Zylinders zur umgebenden Mantelfläche.

Definition Zylinder Radius

Definition Zylinderadius

Als Zylinderradius r oder auch Halbmesser wird der Abstand zwischen der Achse des Zylinders, also dem Mittelpunkt der Zylinder-Grundfläche und dem Mantel M bezeichnet.

Zylinder Durchmesser - Definition und Formel

Definition Zylinder Durchmesser

Definition Zylinderdurchmesser

Der Zylinderdurchmesser d bzw. ⌀ ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie durch den Mittelpunkt M der Zylinder-Grundfläche.

Der Durchmesser entspricht somit der "Dicke" eines Zylinders.

Formel Zylinder Durchmesser

Der Durchmesser d bzw. ⌀ des Zylinders entspricht seinem zweifachen Radius r

d = 2 × r

Zylinder Umfang - Definition und Formel

Definition Zylinder Umfang

Definition Zylinderumfang

Als Zylinderumfang U wird die Länge der Kreislinie der Zylinder-Grundfläche bezeichnet.

Formel Zylinder Umfang

Der Zylinderumfang wird berechnet, indem man den Zylinderdurchmesser d mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) multipliziert.

U = d × π

Zylinder Grundfläche - Definition und Formel

Definition Zylinder Grundfläche

Definition Zylinder-Grundfläche

Als Grundflächeninhalt G wird die vom Zylindermantel umschlossene Fläche bezeichnet.

Formel Zylinder Grundfläche

Die Grundfläche G wird berechnet, indem man das Quadrat des Zylinderradius mit Pi (π = 3,1415...) multipliziert.

G = r² × π

Die Höhe eines Zylinders

Die Höhe h eines Zylinders entspricht dem Abstand der beiden Grundflächen des Zylinders, welche parallel zueinander stehen. Um beim Beispiel der Getränkedose zu bleiben, entspricht die Zylinderhöhe der Höhe der Dose.

Definition Zylinder Höhe

Definition Zylinderhöhe

Die Höhe h eines Zylinders entspricht dem Abstand der beiden zueinander parallel stehenden Zylinder-Grundflächen.

Zylinder Volumen - Definition und Formel

Definition Zylinder Volumen

Definition Zylindervolumen

Das Zylindervolumen V beschreibt die räumliche Ausdehnung eines Zylinders.

Formel Zylinder Volumen

Das Volumen V eines Zylinders ergibt sich aus der Berechnung von Grundflächeninhalt G mal der Zylinderhöhe h.

V = G × h

Zylinder Mantelfläche - Definition und Formel

Definition Zylinder Mantelfläche

Definition Mantelfläche

Die Abwicklung des Zylindermantels M ist ein Rechteck, dessen Länge und Breite der Höhe h des Zylinders und dem Umfang U des Zylinders entsprechen.

Formel Zylinder Mantelfläche

Die Mantelfläche M entspricht dem Produkt von Zylinderhöhe h und dem Zylinderumfang U und wird daher anhand folgender Formel berechnet.

M = h × U

Zylinder Oberfläche - Definition und Formel

Definition Zylinder Oberfläche

Definition Zylinder-Oberfläche

Die Oberfläche O eines Zylinders setzt sich zusammen aus dem zweifachen Grundlächeninhalt G und der Mantelfläche M des Zylinders.

Formel Zylinder Oberfläche

Die Oberfläche O eines Zylinders entspricht dem doppelten Grundflächeninhalt G zuzüglich der Mantelfläche M.

O = 2 × G + M

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Beispiele zur Zylinderberechnung

Zur Berechnung eines Zylinders benötigt man zwei bekannte Werte: Zunächst muss ein Wert für die Berechnung der Zylinder-Grundfläche, also entweder der Radius, der Durchmesser, der Umfang oder der Grundflächeninhalt selber gegeben sein. Dann muss noch einer der drei Werte für die Zylinderhöhe, das Volumen oder die Mantelfläche bekannt sein, um zusammen mit der bereits berechneten Grundfläche die jeweils beiden anderen und auch schließlich die gesamte Zylinderoberfläche zu berechnen.

Im Folgenden unter 1.1 bis 1.4 zeigen wir Ihnen daher zunächst 12 Beispiele für Berechnungen, welche die Zylinder-Grundfläche betreffen. Dies sind zunächst drei Beispiele, wie sich der Zylinderradius anhand des Durchmessers, anhand des Umfangs und anhand des Grundflächeninhalts berechnen lässt. Es folgen drei Beispiele, wie sich der Zylinderdurchmesser, drei Beispiele, wie sich der Zylinderumfang und schließlich drei Beispiele, wie sich der Grundflächeninhalt anhand der jeweils anderen drei Zylindereigenschaften bestimmen lässt.

Anschließend unter 2.1 bis 2.4 folgen die weiteren Beispiele zur Berechnung des gesamten Zylinders anhand der nunmehr bekannten Grundfläche und des zweiten bekannten Werts, also Höhe, Volumen bzw. Mantelfläche.

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1.1 Grundflächenberechnung - Zylinderradius berechnen

Die folgenden drei Beispiele zeigen die Berechnung des Zylinderradius mittels der Zylinderseigenschaften Durchmesser, Umfang und Grundfläche.

Wie berechnet man aus dem Durchmesser den Radius eines Zylinders?

Durchmesser umrechnen zu Zylinderradius

Gegeben sei ein Zylinder mit einem Durchmesser d von 5 cm. Gesucht ist der Radius r des Zylinders.

Berechnung

Der Zylinderradius r entspricht dem halben Durchmesser d, also r = d / 2.

Setzt man die im Beispiel gewählten 5 cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Radius des Zylinders r =  5 cm / 2 = 2,5 cm.

Wie berechnet man aus dem Umfang den Radius eines Zylinders?

Umfang umrechnen zu Zylinderradius

Gegeben sei ein Zylinder mit einem Umfang U von 15 cm. Gesucht ist der Radius r des Zylinders.

Berechnung

Die Formel für den Zylinderumfang U lautet U = 2 × r × π. Stellt man diese Formel nach r um, so entspricht der Radius r der Hälfte der Division aus Umfang geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = U / π / 2.

Setzt man die im Beispiel gewählten 15 cm für den Umfang U ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 15 cm / π / 2 ≈ 2,39 cm.

Wie berechnet man aus der Grundfläche den Radius eines Zylinders?

Grundfläche umrechnen zu Zylinderradius

Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche G von 20 cm². Gesucht ist der Radius r des Zylinders.

Berechnung

Die allgemeine Formel für die Grundfläche G lautet G = r² × π. Stellt man diese Formel nach r um, so entspricht der Radius r der Wurzel des Ergebnisses von Grundfläche G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm² für die Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.

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1.2. Grundflächenberechnung - Zylinderdurchmesser berechnen

Folgende drei Beispiele zeigen die Berechnung des Durchmessers anhand der Zylindereigenschaften Radius, Umfang und Grundfläche.

Wie berechnet man aus dem Radius den Durchmesser eines Zylinders?

Radius umrechnen zu Zylinderdurchmesser

Gegeben sei ein Zylinder mir einem Radius r von 2,5 cm. Gesucht ist der Durchmesser d des Zylinders.

Berechnung

Der Durchmesser d entspricht dem zweifachen Radius r, also d = 2 × r.

Setzt man die im Beispiel gewählten 2,5 cm für den Radius r ein, beträgt der Durchmesser des Zylinders d = 2 × 2,5 cm = 5 cm.

Wie berechnet man aus dem Umfang den Durchmesser eines Zylinders?

Umfang umrechnen zu Zylinderdurchmesser

Gegeben sei ein Zylinder mit einem Umfang U von 15 cm. Gesucht ist der Durchmesser d der Zylinders.

Berechnung

Die Formel für den Umfang lautet U = d × π. Stellt man diese Formel nach d um, so entspricht der Durchmesser d der Division aus Umfang geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also d = U / π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 15 cm für den Umfang U ein, beträgt der Durchmesser des Zylinders d = 15 cm / π ≈ 4,77 cm.

Wie berechnet man aus der Grundfläche den Durchmesser eines Zylinders?

Grundfläche umrechnen zu Zylinderdurchmesser

Gegeben sei eine Zylinder mit einer Grundfläche G von 20 cm². Gesucht ist der Durchmesser d des Zylinders.

Berechnung

Die allgemeine Formel für den Grundflächeninhalt G lautet G = r² × π. Da der Durchmesser d dem zweifachen Radius r entspricht, gilt demnach die Formel G = (d / 2)² × π. Stellt man diese Formel nach d um, so entspricht der Durchmesser d der zweifachen Wurzel aus der Division von Grundfläche G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also d = 2 × G / π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm² für die Grundfläche G ein, beträgt der Durchmesser des Zylinders d = 2 × 20 cm / π ≈ 5,05 cm.

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1.3 Grundflächenberechnung - Zylinderumfang berechnen

Die folgenden drei Beispiele veranschaulichen die Berechnung des Zylinderumfangs mittels Radius, Durchmesser und Grundfläche.

Wie berechnet man aus dem Radius den Umfang eines Zylinders?

Radius umrechnen zu Zylinderumfang

Gegeben sei ein Zylinder mit einem Radius r von 2,5 cm. Gesucht ist der Zylinderumfang U des Zylinders.

Berechnung

Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 2,5 cm für den Radius r ein, beträgt der Umfang des Zylinders U = 2 × 2,5 cm × π ≈ 15,71 cm.

Wie berechnet man aus dem Durchmesser den Umfang eines Zylinders?

Durchmessser umrechnen zu Zylinderumfang

Gegeben sei ein Zylinder mit einem Durchmesser d von 5 cm. Gesucht ist der Umfang U des Zylinders.

Berechnung

Der Umfang U entspricht dem Durchmesser d multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = d × π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 5 cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Umfang des Zylinders U = 5 cm × π ≈ 15,71 cm.

Wie berechnet man aus der Grundfläche den Umfang eines Zylinders?

Grundfläche umrechnen zu Zylinderumfang

Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche G von 20 cm². Gesucht ist der Umfang U des Zylinders.

Berechnung

Die allgemeine Formel für die Grundfläche G lautet G = r² × π.

Zwischenrechnung Radius

Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r berechnet werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundfläche G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm² für die Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm / π ≈ 2,52 cm.

Berechnung Umfang

Anhand des so berechneten Radius kann nun die allgemeine Berechnungsformel für den Umfang verwendet werden: Der Umfang U des Zylinders entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.

Setzt man den zuvor berechneten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.

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1.4. Grundflächenberechnung - Grundflächeninhalt berechnen

Die folgenden drei Beispiele illustrieren die Berechnung des Grundflächeninhalts anhand Radius, Durchmesser und Zylinderumfang.

Wie berechnet man aus dem Radius den Grundflächeninhalt eines Zylinders?

Radius umrechnen zu Grundflächeninhalt

Gegeben sei ein Zylinder mit einem Radius r von 2,5 cm. Gesucht ist der Grundflächeninhalt G des Zylinders.

Berechnung

Die Grundfläche G entspricht dem Quadrat des Radius, also r² multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) und somit G = r² × π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 2,5 cm für den Radius r ein, beträgt die Grundfläche des Zylinders G = (2,5 cm)² × π ≈ 19,63 cm².

Wie berechnet man aus dem Durchmesser den Grundflächeninhalt eines Zylinders?

Durchmessser umrechnen zu Grundflächeninhalt

Gegeben sei ein Zylinder mit einem Durchmesser d von 5 cm. Gesucht ist der Grundflächeninhalt G des Zylinders.

Berechnung

Die Grundfläche G entspricht dem halben Durchmesser zum Quadrat, also (d / 2)² multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) und somit G = (d / 2)² × π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 5 cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Grundflächeninhalt G des Zylinders G = (5 cm / 2)² × π ≈ 19,63 cm².

Wie berechnet man aus dem Umfang den Grundflächeninhalt eines Zylinders?

Umfang umrechnen zu Grundflächeninhalt

Gegeben sei ein Zylinder mit einem Umfang U von 15 cm. Gesucht ist der Grundflächeninhalt G des Zylinders.

Berechnung

Die Grundfläche G leitet man aus dem Umfang beispielsweise her, indem man zunächst den Zylinderradius r anhand des Umfangs bestimmt, denn dann kann man die gängige Formel für die Grundfläche, nämlich G = r² × π verwenden.

Zwischenrechnung Radius

Um also zunächst den Radius zu berechnen, kann man die Formel für den Zylinderumfang U = 2 × r × π nach r umstellen, so dass man r = U / π / 2 erhält.

Setzt man die im Beispiel gewählten 15 cm für den Umfang U ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 15 cm / π / 2 ≈ 2,39 cm.

Berechnung Grundfläche

Setzt man nun schließlich den hier berechneten Wert für den Radius r, nämlich 2,39 cm in die eingangs erwähnte gängige Formel für die Grundfläche G = r² × π ein, beträgt die Grundläche des Zylinders G = (2,39 cm)² × π ≈ 17,90 cm².

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2.1. Zylinderhöhe berechnen

Die folgenden zwei Beispiele veranschaulichen die Berechnung des Zylinderhöhe. Das erste Beispiel zeigt die Berechnung der Zylinderhöhe mittels Grundfläche und Volumen des Zylinders. Das zweite Beispiel zeigt die Berechnung der Zylinderhöhe mittels Grundfläche und Mantelfläche des Zylinders.

Wie berechnet man aus Grundfläche und Volumen die Höhe eines Zylinders?

Zylinder: Höhe berechnen aus Volumen und Grundfläche

Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einem Volumen von 300 cm³. Gesucht ist die Höhe h des Zylinders.

Berechnung

Die allgemeine Formel für das Volumen V eines Zylinders lautet V = G × h wobei G der Grundflächeninhalt und h die Höhe des Zylinders ist. Stellt man diese Formel nach h um, so erhält man h = V / G. Die Höhe h eines Zylinders entspricht also dem Zylindervolumen V geteilt durch dessen Grundflächeninhalt G.

Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für das Volumen V und die Grundfläche G ein, beträgt die Höhe h h = 300 cm³ / 20 cm² = 15 cm.

Video zur Berechnung der Höhe von einem Zylinder anhand Grundfläche und Volumen

Hier noch ein Video zum Thema "Höhe von einem Zylinder berechnen" von Lehrer Schmidt: Im Video sind zunächst der Radius der Grundfläche sowie das Volumen des Zylinders bekannt. Gesucht ist die Höhe des Zylinders. Bis 0:50 erklärt Lehrer Schmidt die Aufgabenstellung. Ab 0:50 zeigt er die Formel zur Berechnung der Höhe des Zylinders. Ab 1:50 werden die bekannten Werte aus der Aufgabenstellung in die Formel für die Höhe eingesetzt und ab 2:31 wird die Formel schließlich mit dem Taschenrechner ausgerechnet. Ab 3:10 folgt ein zweites Beispiel zur Berechnung der Zylinderhöhe. Schließlich folgt ab 5:49 noch ein drittes Beispiel, bei dem statt des Radius, der Durchmesser des Zylinders bekannt ist, um zusammen mit dem Volumen die Höhe des Zylinders auszurechnen.

Wie berechnet man aus Grundfläche und Mantelfläche die Höhe eines Zylinders?

Zylinder: Höhe berechnen aus Grundfläche und Mantelfläche

Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Mantelfläche von 200 cm². Gesucht ist die Höhe h des Zylinders.

Berechnung

Die aufgerollte Mantelfläche eines Zylinders ist ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und einer Breite, die gleich dem Umfang des Zylinders ist. Teilt man die gegebene Mantelfläche M durch den Zylinderumfang U, so erhält man deren Höhe und somit die Höhe h des Zylinders. Die Formel dafür lautet also h =  M / U.

Zwischenrechnung Umfang

Den Umfang U erhält man anhand der gegebenen Grundfläche, denn es gilt zunächst G = r² × π. Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r berechnet werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundflächeninhalt G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.

Setzt man den eingegebenen Wert für die Zylinder-Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.

Anhand des so berechneten Radius kann nun die allgemeine Berechnungsformel für den Zylinderumfang verwendet werden: Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U =  2 × r × π.

Setzt man den zuvor berechneten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang der Grundfläche und damit des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.

Berechnung Höhe

Setzt man schließlich den eingegebenenen Wert für die Mantelfläche M und den so berechneten Umfang U in die eingangs genannte Formel für die Höhe h =  M / U ein, beträgt die Zylinderhöhe h = 200 cm² / 15,85 cm ≈ 12,62 cm.

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2.2. Zylindervolumen berechnen

Die folgenden zwei Beispiele veranschaulichen die Berechnung des Volumens. Das erste Beispiel zeigt die Berechnung des Zylindervolumens mittels Grundfläche und Höhe des Zylinders. Das zweite Beispiel zeigt die Berechnung der Zylindervolumens mittels Grundfläche und Mantelfläche des Zylinders.

Wie berechnet man aus Grundfläche und Höhe das Volumen eines Zylinders?

Zylinder: Volumen berechnen aus Höhe und Grundfläche

Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Höhe von 15 cm. Gesucht ist das Volumen V des Zylinders.

Berechnung

Die allgemeine Formel für das Volumen V eines Zylinders lautet V = G × h wobei G der Grundflächeninhalt und h die Höhe des Zylinders ist.

Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für die Grundfläche G und die Höhe h ein, beträgt das Volumen V V = 20 cm² × 15 cm = 300 cm³.

Video zur Berechnung des Volumens von einem Zylinder anhand Grundfläche und Höhe

Hier noch ein Video zum Thema "Volumen von einem Zylinder berechnen" von Lehrer Schmidt: Im Video sind zunächst der Radius der Grundfläche sowie die Höhe des Zylinders bekannt. Gesucht ist das Volumen des Zylinders. Bis 0:33 erklärt Lehrer Schmidt die Aufgabenstellung. Ab 0:33 zeigt er die Formel zur Berechnung des Volumens des Zylinders. Ab 1:00 werden die bekannten Werte der Aufgabenstellung in die Formel für das Volumen eingesetzt und ab 1:20 wird die Formel schließlich mit dem Taschenrechner ausgerechnet. Abschließend ab 2:12 fasst Lehrer Schmidt im Video die Berechnung des Zylindervolumens zusammen.

Wie berechnet man aus Grundfläche und Mantelfläche das Volumen eines Zylinders?

Zylinder: Volumen berechnen aus Grundfläche und Mantelfläche

Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Mantelfläche von 250 cm². Gesucht ist die Höhe h des Zylinders.

Berechnung

Die allgemeine Formel für das Volumen V eines Zylinders lautet V = G × h wobei G der Grundflächeninhalt und h die Höhe des Zylinders ist. Die Grundfläche G ist im Beispiel gegeben. Die Höhe h des Zylinders kann nun anhand der gegebenen Mantelfläche berechnet werden:

Die aufgerollte Mantelfläche eines Zylinders ist ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und einer Breite, die gleich dem Umfang des Zylinders ist. Teilt man die gegebene Mantelfläche M durch den Zylinderumfang U, so erhält man deren Höhe und somit die Höhe h des Zylinders. Die Formel dafür lautet also h =  M / U.

Zwischenrechnung Umfang

Den Umfang U erhält man anhand der gegebenen Grundfläche, denn es gilt zunächst G = r² × π. Mit Hilfe dieser Formel kann nun zunächst der Radius r berechnet werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundflächeninhalt G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.

Setzt man den eingegebenen Wert für die Zylinder-Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.

Anhand des so berechneten Radius kann nun die allgemeine Berechnungsformel für den Zylinderumfang verwendet werden: Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.

Setzt man den zuvor berechneten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang der Grundfläche und damit des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.

Zwischenrechnung Höhe

Setzt man schließlich den eingegebenenen Wert für die Mantelfläche M und den oben berechneten Umfang ein, beträgt die Zylinderhöhe h h = 250 cm² / 15,85 cm ≈ 15,77 cm.

Berechnung Volumen

Das Volumen V eines Zylinders entspricht, wie eingangs erwähnt, schließlich dem Produkt von Grundflächeninhalt G und der Höhe h des Zylinders und somit V = G × h.

Setzt man schließlich hier die Werte für den eingegebenenen Grundflächeninhalt G und die gerade aus der gegebenen Mantelfläche berechneten Höhe h ein, beträgt das Volumen V = 20 cm² × 15,77 cm ≈ 315,39 cm³.

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2.3. Mantelfläche berechnen

Die folgenden zwei Beispiele veranschaulichen die Berechnung der Mantelfläche. Das erste Beispiel zeigt die Berechnung der Mantelfläche mittels Grundfläche und Höhe des Zylinders. Das zweite Beispiel zeigt die Berechnung der Mantelfläche mittels Grundfläche und Volumen des Zylinders.

Wie berechnet man aus Grundfläche und Höhe die Mantelfläche eines Zylinders?

Zylinder: Mantelfläche berechnen aus Höhe und Grundfläche

Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Höhe von 15 cm. Gesucht ist die Mantelfläche des Zylinders.

Berechnung

Die aufgerollte Mantelfläche M eines Zylinders ist ein Rechteck mit der Höhe h des Zylinders und einer Breite, die gleich dem Umfang U des Zylinders ist. Daher gilt die Formel M = h × U.

Zwischenrechnung Umfang

Den Umfang U erhält man anhand der gegebenen Grundfläche, denn es gilt zunächst G = r² × π. Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r berechnet werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundflächeninhalt G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.

Setzt man den eingegebenen Wert für die Zylinder-Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.

Anhand des so berechneten Radius kann nun die allgemeine Berechnungsformel für den Zylinderumfang verwendet werden: Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U =  2 × r × π.

Setzt man den zuvor berechneten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang der Grundfläche und damit des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.

Berechnung Mantelfläche

Setzt man den eingegebenenen Wert für die Höhe h und den so berechneten Umfang U ein, beträgt die Mantelfläche M schließlich M = 15 cm × 15,85 cm ≈ 237,80 cm².

Wie berechnet man aus Grundfläche und Volumen die Mantelfläche eines Zylinders?

Zylinder: Mantelfläche berechnen aus Grundfläche und Volumen

Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einem Volumen von 300 cm³. Gesucht ist die Mantelfläche M des Zylinders.

Berechnung

Die aufgerollte Mantelfläche M eines Zylinders ist ein Rechteck mit der Höhe h des Zylinders und einer Breite, die gleich dem Umfang U des Zylinders ist. Die Mantelfläche M kann als anhand der Formel M = h × U berechnet werden.

Zwischenrechnung Umfang

Den Umfang U erhält man anhand der gegebenen Grundfläche, denn es gilt zunächst G = r² × π. Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r berechnet werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundflächeninhalt G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.

Setzt man den eingegebenen Wert für die Zylinder-Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.

Anhand des so berechneten Radius kann nun die allgemeine Berechnungsformel für den Zylinderumfang verwendet werden: Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.

Setzt man den zuvor berechneten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang der Grundfläche und damit des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.

Zwischenrechnung Höhe

Die Höhe h kann bei dem gegebenen Volumen V und dem gegebenen Grundflächeninhalt G anhand folgender Formel berechnet werden: h = V / G.

Setzt man das eingegebene Volumen V und die Grundfläche G ein, beträgt die Höhe somit h = 300 cm³ / 20 cm² = 15 cm.

Berechnung Mantelfläche

Nun kann anhand der so berechneten Höhe h und dem bereits bestimmten Umfang U des Zylinders die Mantelfläche M anhand der Formel M = h × U berechnet werden.

Setzt man die berechneten Werte für die Höhe h und den Umfang U ein, beträgt die Mantelfläche M = 15 cm × 15,85 cm ≈ 237,80 cm².

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2.4. Zylinder-Oberfläche berechnen

Das folgende abschließende Beispiel zeigt die Berechnung der Oberfläche eines Zylinders anhand Grundfläche und Mantelfläche.

Wie berechnet man aus Grundfläche und Mantelfläche die Oberfläche eines Zylinders?

Zylinder: Oberfläche berechnen aus Grundfläche und Mantelfläche

Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Mantelfläche von 200 cm². Gesucht ist die Oberfläche des Zylinders.

Berechnung

Die Oberfläche O setzt sich zusammen aus der zweifachen Grundfläche G und der Mantelfläche M, also O = 2 × G + M.

Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm² für die Grundfläche G und 200 cm² für die Mantelfläche M ein, beträgt die Oberfläche O des Zylinders O = 2 × 20 cm² + 200 cm² = 240 cm².

Video zur Berechnung der Oberfläche von einem Zylinder anhand Grundfläche und Mantelfläche

Abschließend noch ein Video zum Thema "Oberfläche von einem Zylinder berechnen" von Lehrer Schmidt: Im Video sind zunächst die Grundfläche sowie die Mantelfläche des Zylinders bekannt. Gesucht ist die Oberfläche des Zylinders. Bis 0:22 erklärt Lehrer Schmidt die Aufgabenstellung. Ab 0:22 zeigt er die Formel zur Berechnung der Oberfläche des Zylinders. Ab 0:42 werden die bekannten Werte aus der Aufgabenstellung in die Formel für die Oberfläche eingesetzt und ausgerechnet.

Quellenangaben

Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Zylinder" verwendet:

Letzte Aktualisierung am 08.08.2022

Die Seiten der Themenwelt "Zylinder" wurden zuletzt am 08.08.2022 redaktionell überprüft durch Michael Mühl. Sie entsprechen alle dem aktuellen Stand.

Vorherige Änderungen am 08.06.2022

  • 08.06.2022: Veröffentlichung des Bereichs Zylinder berechnen nebst dazugehöriger Texte.
  • Redaktionelle Überarbeitung aller Texte in dieser Themenwelt
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