Dreisatz rechnen

Dreisatz rechnen - mit Rechner und einfacher Erklärung

Thema Dreisatz ﹣ Rechner

Was ist der Dreisatz? Wie rechnet man mit dem Dreisatz? Hier erhalten Sie Antworten auf diese und weitere Fragen und viele Beispiele zum Dreisatz. Anhand des Dreisatzrechners können Sie zwei gegebene Werte für ein bekanntes Verhältnis sowie den gegebenen Wert für das zu berechnende Verhältnis eingeben. Der Dreisatzrechner berechnet den gesuchten Wert, abhängig davon, ob das Verhältnis eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung ist.

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Erklärungen und Beispiele zum Thema Dreisatz

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Was ist ein Dreisatz?

Der Dreisatz ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Größen eines Verhältnisses bzw. einer Zuordnung die unbekannte vierte Größe zu berechnen. Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für Aufgaben mit proportionalen oder antiproportionalen Zuordnungen. Insbesondere in der Schulmathematik wird der Dreisatz gelehrt.

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Warum heißt der Dreisatz Dreisatz?

Die Bezeichnung Dreisatz leitet sich davon ab, dass drei gegebene Größen in die Rechnung eingesetzt werden, um die vierte zu berechnen. Der Name Dreisatz kann jedoch auch daher rühren, dass die Lösung über drei Sätze berechnet wird (1. Satz: Bekanntes Verhältnis, 2. Satz: Verhältnis bei einer Einheit, 3. Satz: Zu berechnendes Verhältnis). So wird dies auch in den meisten Schulbüchern beschrieben.

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Wie funktioniert das Dreisatzverfahren?

Die drei Schritte beim Dreisatz sehen folgendermaßen aus:

  • Ein bekanntes Verhältnis bzw. Zuordnung enthält zwei von drei bekannten Größen und bildet den ersten Satz des Dreisatzes.
  • Im zweiten Satz des Dreisatzes wird dann diese Zuordnung auf eine Einheit zurück gerechnet, das heißt, es wird bestimmt, welchen Wert die Zuordnung an der Stelle Eins hat.
  • Der dritte Satz des Dreisatzes ist dann der Lösungssatz, bei dem der gesuchte Wert der Zuordnung an der Stelle des dritten bekannten Werts berechnet wird.

Kurzes Beispiel zum Dreisatzverfahren

Etwas anschaulicher wird dies an einem kurzen Beispiel: "Wenn drei Brötchen 1,20 Euro kosten. Wie viel kosten dann zwei Brötchen?"

  • Der erste Satz des Beispiels bildet auch schon den ersten Satz des Dreisatzes. Das Verhältnis lautet: "3 Stück entsprechen 1,20 €".
  • Der zweite Satz ist das Zurückrechnen auf eine einzige Einheit, indem man beide Seiten durch 3 teilt: "1 Stück entspricht 0,40 €".
  • Der dritte Satz dieses Dreisatzes entsteht, indem man nun die eine Einheit mit 2 (Anzahl der Brötchen, für die der Preis berechnet werden soll) und auch die andere Seite, also die Kosten mit 2 multipliziert, um den gesuchten Preis zu berechnen: "2 Stück entsprechen 0,80 €".

Zwei Brötchen kosten also 0,80 Euro.

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Was ist der Unterschied zwischen proportionaler und antiproportionaler Zuordnung?

Während für eine proportionale Zuordnung gilt: "Je mehr, desto mehr", gilt für eine antiproportionale Zuordnung: "Je mehr, desto weniger". Beispielsweise ist die Zuordnung von Preisen für Waren eine proportionale Zuordnung, da der Preis gleichmäßig mit der Anzahl der Waren steigt. Eine antiproportionale Zuordnung bildet eine umgekehrte proportionale Zuordnung. Beispielsweise wird bei Einsatz von mehr Arbeitern die benötigte Zeit zur Erledigung einer Arbetsaufgabe verringert. Die Details zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen finden Sie im Folgenden.

Was ist eine proportionale Zuordnung?

Proportionale Zuordnungen geben ein gleichmäßiges Wachstum an. Sie nehmen also immer gleichmäßig (proportional) zu. Vervielfacht sich eine Größe, so vervielfacht sich die andere Größe im gleichen Maße: Wenn sich etwa die eine Größe verdoppelt, verdreifacht oder verzehnfacht, dann verdoppelt, verdreifacht, verzehnfacht sich auch die andere Größe. Ebenso verhält es sich mit Bruchteilen: Halbiert sich z.B. die eine Größe, halbiert sich auch die andere Größe.

Für eine proportionale Zuordnung gilt stets "Je mehr, desto mehr" bzw. "Je weniger, desto weniger".

Kostet z.B. eine Flasche Milch 2 Euro, dann kosten drei Flaschen dreimal so viel, nämlich 6 Euro. Es liegt hier also eine proportionale Zuordnung vor. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine von links nach rechts ansteigende Gerade, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.

Was ist eine antiproportionale Zuordnung?

Bei der antiproportionalen Zuordnung gilt im Gegensatz zur proportionalen Zuordnung: Verdoppelt sich beispielsweise die eine Größe, so halbiert sich die andere Größe. Halbiert sich die eine Größe, verdoppelt sich die andere Größe. Die antiproportionale Zuordnung heißt auch umgekehrt proportionale, reziproke oder indirekte Zuordnung.

Für eine antiproportionale Zuordnung gilt stets "Je mehr, desto weniger" bzw. "Je weniger, desto mehr".

Benötigen z.B. 3 Gärtner 3 Stunden zum Rasenmähen einer bestimmten Fläche, dann benötigt ein Drittel der Gärtner, also genau ein Gärtner dreimal so lange, nämlich 9 Stunden für die gleiche Fläche. Es liegt hier demnach eine antiproportionale Zuordnung vor. Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine von oben links nach unten rechts stets fallend verlaufende Hyperbel.

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Eingabehilfe zum Dreisatzechner

Der Dreisatzrechner berechnet jeden Dreisatz mittels der beiden gegebenen Werte für das bekannte Verhältnis sowie dem gegebenen Wert für das zu berechnende Verhältnis. Das Ergebnis des Dreisatz wird anhand aller dreo Schritte hergeleitet und mit passenden Charts veranschaulicht.

Bekanntes Verhältnis bzw. bekannte Relation

Dreisatz rechnen: Bekanntes Verhältnis Geben Sie bitte die Werte des bekannten Verhältnisses an, also wie viele Einheiten der einen Größe wie vielen Einheiten der anderen Größe entsprechen. Typische Beispiele sind "3 Brötchen kosten 1,20 Euro" oder "100 Gramm Schokolade haben 350 Kalorien" oder "Ein Auto benötigt für 500 km 40 Liter Benzin".

Zu berechnendes Verhältnis

Dreisatz rechnen: Zu berechnendes Verhältnis Geben Sie bitte den Wert an, für den das zu berechnende Verhältnis bestimmt werden soll. Sie möchten also z.B. wissen, wie viel 2 Brötchen kosten, wenn 3 Brötchen 1,20 Euro kosten. Dann geben Sie hier bitte eine 2 ein, nachdem Sie zuvor für das bekannte Verhältnis "3 entsprechen 1,20" eingegeben haben.

Oder Sie möchten etwa wissen, wie viel Kalorien 75 Gramm Schokolade haben, wenn 100 Gramm 350 kcal haben. Dann geben Sie hier bitte 75 ein, nachdem Sie zuvor "100 entsprechen 350" eingegeben haben.

Oder aber Sie möchten z.B. berechnen, wie viele Liter Benzin ein Auto benötigt, um 100 km zu fahren, wenn es für 500 km 40 Liter Benzin verbraucht. In diesem Fall geben Sie hier bitte 100 ein, nachdem Sie unter "Bekanntes Verhältnis" 500 und 40 eingegeben haben.

Art der Berechnung

Dreisatz rechnen: Art der Berechnung Wählen Sie bitte aus, ob es sich bei dem bekannten Verhältnis um eine proportionale ("Je mehr, desto mehr") oder eine antiproportionale ("Je mehr, desto weniger") Zuordnung handelt. Abhängig davon wird das Ergebnis des Dreisatz berechnet.

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Beispiele zur Dreisatzrechnung

Im Folgenden zeigen wir Ihnen einige Beispiele zur Berechnung per Dreisatz. Dabei wird zwischen Beispielen zum proportionalen Dreisatz, also dem Rechenverfahren zur Lösung proportionaler Zuodnungen ("Je mehr, desto mehr") und Beispielen zum antiproportionalen Dreisatz ("Je mehr, desto weniger") unterschieden.

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Beispiele für proportionalen Dreisatz

Proportionale Zuordnungen bilden den einfachen und klassischen Einsatzfall für das Dreisatzverfahren. Typische Beispiele proportionaler Zuordnungen bzw. Verhältnisse sind:

  • Wenn 3 Kilo Äpfel 6 Euro kosten, dann kosten 2 Kilo Äpfel 4 Euro.
  • Wenn man in 2 Stunden 600 Kalorien verbraucht, dannn verbraucht man in 1 Stunde 300 Kalorien.

Wenn bekannt ist, dass es sich bei einer Aufgabenstellung um eine proportionale Zuordnung handelt, können mit Hilfe des Dreisatzverfahrens die Werte für die anderen Einheiten, wie in den folgenden Beipielen berechnet werden.

Proportionaler Dreisatz - Beispiel 1

Aufgabe

3 Liter Milch kosten 4,50 Euro. Wie viel Euro kosten 5 Liter Milch?

Lösung per Dreisatz

Wir wissen, dass 3 Liter Milch 4,50 Euro kosten. Um nun zu berechnen, wie viel Euro 5 Liter Milch kosten, rechnen wir in einem Zwischenschritt aus, wie viel 1 Liter Milch kostet. Da es sich um eine proportionale Zuordnung ("je mehr, desto mehr" oder auch "je weniger, desto weniger") handelt, werden dazu beide Seiten durch 3 geteilt.

Rückrechnung auf eine Einheit

3 Liter ➝ 4,50 Euro
÷ 3÷ 3
1 Liter ➝ 1,50 Euro

Nun wissen wir, wie viel 1 Liter Milch kostet und können nun im nächsten Schritt berechnen, wie viel 5 Liter kosten, indem wir beide Seiten des Zwischenergebnisses mit 5 multiplizieren.

Hochrechnung auf gewünschte Einheit

1 Liter ➝ 1,50 Euro
× 5× 5
5 Liter ➝ 7,50 Euro

Nach diesen beiden Berechnungsschritten ist der Dreisatz fertig. Das Ergebnis lautet: 5 Liter Milch kosten also 7,50 Euro.

Schnellere Lösung per Dreisatz-Formel

Anhand folgender Formel kann der Dreisatz auch direkt ohne Zwischenschritt berechnet werden. Dazu wird der Wert der rechten Seite der bekannten Zuordnung durch den linken Wert dieser Zuordnung geteilt und im gleichen Schritt das Ergebnis mit dem linken Wert des zu berechnenden Verhältnisses multipliziert.

4,50 ÷ 3 × 5 = 7,50 Euro

Aussagen

  • Wenn bei einer proportionalen Zuordnung 3 Einheiten 4,50 entsprechen und gefragt ist, welcher Wert dann 5 Einheiten entspricht, dann ist 7,50 das Ergebnis.
  • Anders ausgedrückt verhält sich bei einer proportionalen Zuordnung der Wert 3 zu 4,50 wie der Wert 5 zu 7,50.

Proportionaler Dreisatz - Beispiel 2

Aufgabe

100 Gramm Weingummi haben 350 Kalorien. Wie viel Kalorien hat ein Stück Weingummi, dass 5 Gramm wiegt?

Lösung per Dreisatz

Wir wissen, dass 100 Gramm Weingummi 350 Kalorien haben. Um nun zu berechnen, wie viel Kalorien 5 Gramm Weingummi haben, rechnen wir in einem Zwischenschritt aus, wie viel Kalorien 1 Gramm Weingumm hat. Da es sich um eine proportionale Zuordnung ("je mehr, desto mehr" oder auch "je weniger, desto weniger") handelt, werden dazu beide Seiten durch 100 geteilt.

Rückrechnung auf eine Einheit

100 Gramm ➝ 350 kcal
÷ 100÷ 100
1 Gramm ➝ 3,50 kcal

Nun wissen wir, wie viel Kalorien 1 Gramm Weingummi hat und können nun im nächsten Schritt berechnen, wie viel Kalorien 5 Gramm haben, indem wir beide Seiten des Zwischenergebnisses mit 5 multiplizieren.

Hochrechnung auf gewünschte Einheit

1 Gramm ➝ 3,50 kcal
× 5× 5
5 Gramm ➝ 17,5 kcal

Nach diesen beiden Berechnungsschritten ist der Dreisatz fertig. Das Ergebnis lautet: 5 Gramm Weingummi haben 17,5 Kalorien.

Schnellere Lösung per Dreisatz-Formel

Anhand folgender Formel kann dieser Dreisatz auch direkt ohne Zwischenschritt berechnet werden. Dazu wird auch hier der Wert der rechten Seite der bekannten Zuordnung durch den linken Wert dieser Zuordnung geteilt und im gleichen Schritt das Ergebnis mit dem linken Wert des zu berechnenden Verhältnisses multipliziert.

350 ÷ 100 × 5 = 17,50 Euro

Aussagen

  • Wenn bei einer proportionalen Zuordnung 100 Einheiten 350 entsprechen und gefragt ist, welcher Wert dann 5 Einheiten entspricht, dann ist 17,50 das Ergebnis.
  • Anders ausgedrückt verhält sich bei einer proportionalen Zuordnung der Wert 100 zu 350 wie der Wert 5 zu 17,50.

Proportionaler Dreisatz - Beispiel 3 im Video

Aufgabe

Die Versandkosten für 54 kg betragen 30,50 Euro. Wie hoch sind die Versandkosten für 150 kg?

Lösung per Dreisatz im Video

Anhand des Videos von Lehrer Schmidt wird nun der proportionale Dreisatz zur Lösung der Aufgabe angewandt.

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Beispiele für antiproportionalen Dreisatz

Antiproportionale Zuordnungen bilden neben den proportionalen Zuordnungen den zweiten möglichen Einsatzfall für das Dreisatzverfahren. Typische Beispiele antiproportionaler Zuordnungen bzw. Verhältnisse sind:

  • Wenn 3 Maurer 6 Stunden benötigen, um eine Mauer zu bauen, benötigen 2 Maurer 9 Stunden.
  • Wenn eine Pumpe 2 Tage benötigt, um ein Schwimmbecken auszupumpen, benötigen 2 Pumpen einen halben Tag.

Wenn bekannt ist, dass es sich bei einer Aufgabenstellung um eine antiproportionale Zuordnung handelt, können mit Hilfe des Dreisatzverfahrens die Werte für die anderen Einheiten, wie in den folgenden Beipielen berechnet werden.

Antiroportionaler Dreisatz - Beispiel 1

Aufgabe

3 Gärtner benötigen 4,5 Stunden, um eine bestimmte Rasenfläche zu mähen. Wie viele Stunden benötigen 5 Gärtner?

Lösung per Dreisatz

Wir wissen, dass 3 Gärtner 4,5 Stunden benötigen. Um nun zu berechnen, wie viele Stunden 5 Gärtner benötigen, rechnen wir in einem Zwischenschritt aus, wie viele Stunden 1 Gärtner benötigt. Da es sich um eine antiproportionale Zuordnung ("je mehr, desto weniger" oder auch "je weniger, desto mehr") handelt, wird dazu die Anzahl der Gärtner durch 3 geteilt und die Anzahl der Stunden mit 3 multipliziert.

Rückrechnung auf eine Einheit

3 Gärtner ➝ 4,5 Stunden
÷ 3× 3
1 Gärtner ➝ 13,5 Stunden

Nun wissen wir, wie viel 1 Gärtner benötigt und können nun im nächsten Schritt berechnen, wie viele Stunden 5 Gärtner benötigen, indem wir vom Zwischenergebnis die Anzahl der Gärtner mit 5 multiplizieren und die Anzahl der Stunden durch 5 teilen.

Hochrechnung auf gewünschte Einheit

1 Gärtner ➝ 13,5 Stunden
× 5÷ 5
5 Gärtner ➝ 2,7 Stunden

Nach diesen beiden Berechnungsschritten ist der Dreisatz fertig. Das Ergebnis lautet: 5 Gärtner benötigen 2,7 Stunden. Der Vollständigkeit können Sie mit hilfe unseres Zeit-Umrechnes noch berechnen, wie viele Minuten 2,7 Stunden sind.

Schnellere Lösung per Dreisatz-Formel

Mit Hilfe der folgenden Dreisatz-Formel kann dieser Dreisatz auch ohne Zwischenschritt berechnet werden. Dazu wird der Wert der rechten Seite der bekannten Zuordnung mit dem linken Wert dieser Zuordnung multipliziert und im gleichen Schritt das Ergebnis durch den linken Wert des zu berechnenden Verhältnisses dividiert.

4,5 × 3 ÷ 5 = 2,7 Stunden

Aussagen

  • Wenn bei einer antiproportionalen Zuordnung 3 Einheiten 4,5 entsprechen und gefragt ist, welcher Wert dann 5 Einheiten entspricht, dann ist 2,7 das Ergebnis.
  • Anders ausgedrückt verhält sich bei einer antiproportionalen Zuordnung der Wert 3 zu 4,5 wie der Wert 5 zu 2,7.

Antiproportionaler Dreisatz - Beispiel 2

Aufgabe

12 Bagger benötigen 6 Tage, um eine Grube auszubaggern. Wie viele Tage benötigen 2 Bagger?

Lösung per Dreisatz

Wir wissen, dass 12 Bagger 6 Tage benötigen. Um nun zu berechnen, wie viele Tage 2 Bagger benötigen, wird in einem Zwischenschritt ausgerechnet, wie viele Tage 1 Bagger benötigt, um die Grube auszubaggern. Da es sich um eine antiproportionale Zuordnung ("je mehr, desto weniger" bzw. "je weniger, desto mehr") handelt, wird dazu die Anzahl der Bagger durch 12 geteilt und die Anzahl der Tage mit 12 multipliziert.

Rückrechnung auf eine Einheit

12 Bagger ➝ 6 Tage
÷ 12× 12
1 Bagger ➝ 72 Tage

Nun wissen wir, wie viele Tage 1 Bagger benötigt, um die Grube auszubaggern und können nun im nächsten Schritt berechnen, wie viele Tage 2 Bagger benötigen, indem wir die linke Seite des Zwischenergebnisses mit 2 multiplizieren und die rechte Seite, also die Anzahl der Tage durch 2 teilen.

Hochrechnung auf gewünschte Einheit

1 Bagger ➝ 72 Tage
× 2÷ 2
2 Bagger ➝ 36 Tage

Nun ist der Dreisatz fertig. Das Ergebnis lautet: 2 Bagger benötigen 36 Tage, um die Baugrube auszubaggern, wenn 12 Bagger 6 Tage dazu benötigen.

Schnellere Lösung per Dreisatz-Formel

Anhand der folgenden Dreisatz-Formel kann dieser Dreisatz auch direkt ohne Zwischenschritt berechnet werden. Dazu wird der Wert der rechten Seite der bekannten Zuordnung mit dem linken Wert dieser Zuordnung multipliziert und im gleichen Schritt das Ergebnis durch den linken Wert des zu berechnenden Verhältnisses dividiert.

6 × 12 ÷ 2 = 36 Tage

Aussagen

  • Wenn bei einer antiproportionalen Zuordnung 12 Einheiten 3 entsprechen und gefragt ist, welcher Wert dann 2 Einheiten entspricht, dann ist 36 das Ergebnis.
  • Anders ausgedrückt verhält sich bei einer antiproportionalen Zuordnung der Wert 12 zu 3 wie der Wert 2 zu 36.

Antiproportionaler Dreisatz - Beispiel 3 im Video

Aufgabe

12 Bauarbeiter benötigen für eine Baustelle 4 Tage. Wie lange brauchen 6 Bauarbeiter?

Lösung per Dreisatz im Video

Lehrer Schmidt liefert im folgenden Video die Lösung anhand des antiproportionalen Dreisatzverfahrens.

Quellenangaben

Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Dreisatz" verwendet:

Letzte Aktualisierung am 22.11.2022

Die Seiten der Themenwelt "Dreisatz" wurden zuletzt am 22.11.2022 redaktionell überprüft durch Michael Mühl. Sie entsprechen alle dem aktuellen Stand.

Vorherige Änderungen am 26.04.2022

  • 26.04.2022: Veröffentlichung des Bereichs Dreisatz nebst dazugehöriger Texte.
  • Redaktionelle Überarbeitung aller Texte in dieser Themenwelt
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