Hier dreht sich alles um den Kreis: Definitionen, Formeln und Berechnungen für den Radius, den Durchmesser, den Umfang und die Fläche mit unterschiedlichen Größeneinheiten. Mit unserem Rechners für die Kreisberechnung können Sie alle wichtigsten Kreiseigenschaften berechnen.
Alles Wichtige zum Thema Kreis
Inhalt
Definition Kreis
Ein Kreis ist eine geometrische Figur und ist definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die den gleichen Abstand zu einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Kreises, haben. Dieser Abstand jedes Punktes auf der Kreislinie bzw. auf dem Kreisrand zum Mittelpunkt des Kreises wird als Radius bezeichnet. Der Kreis ist mathematisch eine Kurve und damit eindimensional. Meist wird der Kreis aber als zweidimensionale Fläche bzw. Kreisscheibe interpretiert, welche durch die Kreislinie umschlossen wird.
Wichtigte Eigenschaften eines Kreises sind sein Radius, der Kreisdurchmesser, der Umfang des Kreises sowie die Kreisfläche. Die Berechnung dieser Kreiseigenschaften und deren Umrechnung anhand von Kreisformeln kann mit dem Kreis-Rechner bequem durchgeführt werden und wird im Folgenden weiter vertieft.
Was ist die Zahl Pi?
Im Zusammenhang mit Berechnungen und Formeln für den Kreis und die Kreisberechnung treffen wir immer wieder auf Pi bzw. den griechischen Buchstaben π. Die Kreiszahl Pi entspricht - unabhängig von der Größe eines Kreises - dem exakten Verhältniss des Kreisumfangs zum Durchmesser. Pi hat dabei unendlich viele Nachkommastellen und beginnt mit 3,1415926. Der Umfang eines Kreises ist also immer rund 3,14 mal größer als sein Durchmesser.
Wie lauten die Kreis Formeln?
- Durchmesser: d = 2 × r
- Radius: r = ½ × d
- Umfang: U = 2 × r × π oder U = d × π
- Fläche: A = r² × π oder A = (d² × π)/4 = ¼ × d² × π
Eingabehilfe zum Kreis-Rechner für die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche
Der Rechner zur Kreisberechnung enthält mehrere Eingabefelder, welche im Folgenden genauer erläutert werden:
Größeneinheit
Wählen Sie hier die passende Größeneinheit aus, um diese für die einzelnen Eingabefelder anzuzeigen. Auswählen könnnen
Sie mm, cm, dm, m,und km.
Und so funktioniert der Rechner: Sie können im Folgenden ein beliebiges Eingabefeld ausfüllen. Die übrigen Werte werden dann anhand der Formeln für die Kreisberechnung berechnet und ausgefüllt. Die Hilfetexte für Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche enthalten stets die aktuelle Herleitung der aktuellen Berechnung. Sobald Sie wieder einen der Werte ändern, wird eine erneute Berechnung der übrigen Werte und eine Aktualisierung der Hilfetexte zur Herleitung der neuen Berechnung durchgeführt.
Radius
Geben Sie bitte den Radius an, um den Durchmesser, den Umfang und die Fläche des Kreises zu berechnen.
Die Hilfetexte der berechneten Kreiseigenschaften werden dabei aktualisiert, so dass sie die entsprechende Kreisformel
sowie die Herleitung der Berechnung vom eingegebenen Radius zur jeweiligen Eigenschaft enthalten.
Durchmesser
Geben Sie bitte den Durchmesser an, um den Radius, den Kreisumfang und die Kreisfläche zu berechnen.
Die damit aktualisierten Hilfetexte der berechneten Kreiseigenschaften enthalten dann die zugehörige Berechnungsformel
sowie die Berechnungsherleitung vom eingegebenen Durchmesser zur jeweiligen Eigenschaft.
Umfang
Geben Sie bitte den Umfang an, um den Radius, den Durchmesser und die Fläche des Kreises zu berechnen.
Die Hilfetexte der berechneten Kreiseigenschaften werden aktualisiert und enthalten je eine konkrete Herleitung der aktuellen
Berechnung, also vom Umfang zum Radius, zum Durchmesser bzw. zur Kreisfläche.
Fläche
Geben Sie bitte eine Fläche an, um Radius, Durchmesser und Umfang des Kreises zu berechnen.
Auch hier werden bei der Berechnung von Radius, Durchmesser und Kreisumfang deren Hilfetexte so aktualisiert, dass
jeweils die Herleitung der Umrechnung nachvollzogen werden kann.
Skizze
Die Skizze zeigt Ihnen die jeweils ausgewählte Kreiseigenschaft an. So können sie sich ein Bild davon machen, wie der Radius,
der Durchmesser, der Kreisumfang und die Kreisfläche definiert sind.
Die Anzeige wechselt, sobald Sie ein Eingabefeld zu den Kreiseigenschaften anklicken oder einen dazu gehörenden Hilfe-Button auswählen.
Der Radius eines Kreises
Wie bereits beschrieben, ist ein Kreis definiert als die Menge aller Punkte in der Ebene mit gleichem Abstand zu einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Kreises. Dieser Abstand von der Kreismitte zum Kreisrand ist der Radius.
Definition Radius
Als Radius r oder auch Halbmesser wird der Abstand zwischen dem Mittelpunkt M eines Kreises und der Kreislinie bezeichnet.
Kreis Durchmesser
Definition Kreisdurchmesser
Der Kreisdurchmesser d bzw. ⌀ ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie durch den Kreismittelpunkt M.
Der Durchmesser ist damit der größtmögliche Abstand zweier Punkte der Kreislinie.
Formel Kreisdurchmesser
Der Durchmesser d entspricht dem zweifachen Radius r
d = 2 × r
Kreis Umfang
Definition Kreisumfang
Als Kreisumfang U wird die Länge der Kreislinie bezeichnet.
Formel Kreisumfang
Der Kreisumfang U wird berechnet, indem man den Durchmesser d mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) multipliziert.
U = d × π
Kreis Fläche
Definition Kreisfläche
Als Kreisfläche A wird die von der Kreislinie umschlossene Fläche bezeichnet.
Formel Kreisfläche
Die Kreisfläche A wird berechnet, indem man das Quadrat des Radius r mit Pi (π = 3,1415...) multipliziert.
A = r² × π
Beispiele zur Kreisberechnung
Die vier auf dieser Seite beschriebenen Kreiseigenschaften Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche können alle durch Angabe eines einzigen Wertes der jeweils anderen Eigenschaft berechnet werden. Möchte man z.B. die Kreisfläche berechnen, kann dies jeweils anhand einer der anderen drei Eigenschaften, also anhand des Radius, des Durchmessers oder des Kreisumfangs erfolgen.
Wir zeigen Ihnen im Folgenden daher jeweils drei Beispiele für die Berechnung des Radius anhand der anderen drei Eigenschaften, für die Berechnung des Durchmessers, für die Berechnung des Umfangs und für die Berechnung der Kreisfläche anhand der jeweils anderen drei Kreiseigenschaften.
1. Radius berechnen
Die folgenden drei Beispiele zeigen die Berechnung des Radius mittels der Kreiseigenschaften Durchmesser, Umfang und Kreisfläche.
Wie berechnet man aus dem Durchmesser den Radius?
Gegeben sei ein Durchmesser d von 20 cm. Gesucht ist der Radius r.
Berechnung
Der Radius r entspricht dem halben Durchmesser d, also r = d / 2.
Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Radius des Kreises r = 20 cm / 2 = 10 cm.
Wie berechnet man aus dem Kreisumfang den Radius?
Gegeben sei ein Kreisumfang U von 30 cm. Gesucht ist der Radius r.
Berechnung
Die Formel für den Umfang lautet U = 2 × r × π. Stellt man diese Formel nach r um, so entspricht der Radius r der Hälfte der Division aus Umfang geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = U / π / 2.
Setzt man die im Beispiel gewählten 30 cm für den Umfang U ein, beträgt der Radius des Kreises r = 30 cm / π / 2 = 4,77 cm.
Wie berechnet man aus der Kreisfläche den Radius?
Gegeben sei eine Kreisfläche A von 100 cm². Gesucht ist der Radius r.
Berechnung
Die allgemeine Formel für die Kreisfläche A lautet A = r² × π. Stellt man diese Formel nach r um, so entspricht der Radius r der Wurzel des Ergebnisses von Kreisfläche A geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = A / π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 100 cm² für die Fläche A ein, beträgt der Radius des Kreises r = 100 cm / π = 5,64 cm.
2. Durchmesser berechnen
Folgende Beispiele zeigen die Berechnung des Durchmessers anhand der Kreiseigenschaften Radius, Umfang und Kreisfläche.
Wie berechnet man aus dem Radius den Durchmesser?
Gegeben sei ein Radius r von 10 cm. Gesucht ist der Durchmesser d.
Berechnung
Der Durchmesser d entspricht dem zweifachen Radius r, also d = 2 × r.
Setzt man die im Beispiel gewählten 10 cm für den Radius r ein, beträgt der Durchmesser des Kreises d = 2 × 10 cm = 20 cm.
Wie berechnet man aus dem Kreisumfang den Durchmesser?
Gegeben sei ein Kreisumfang U von 30 cm. Gesucht ist der Durchmesser d.
Berechnung
Die Formel für den Umfang lautet U = d × π. Stellt man diese Formel nach d um, so entspricht der Durchmesser d der Division aus Umfang geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also d = U / π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 30 cm für den Umfang U ein, beträgt der Durchmesser des Kreises d = 30 cm / π= 9,55 cm.
Wie berechnet man aus der Kreisfläche den Durchmesser?
Gegeben sei eine Kreisfläche A von 100 cm². Gesucht ist der Durchmesser d.
Berechnung
Die allgemeine Formel für die Kreisfläche A lautet A = r² × π. Da der Durchmesser d dem zweifachen Radius r entspricht, gilt demnach die Formel A = (d / 2)² × π. Stellt man diese Formel nach d um, so entspricht der Durchmesser d der zweifachen Wurzel aus der Division von Kreisfläche A geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also d = 2 × A / π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 100 cm² für die Fläche A ein, beträgt der Durchmesser des Kreises d = 2 × 100 cm / π = 11,28 cm.
3. Umfang berechnen
Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Berechnung des Kreisumfangs mittels Radius, Durchmesser und Kreisfläche.
Wie berechnet man aus dem Radius den Kreisumfang?
Gegeben sei ein Radius r von 10 cm. Gesucht ist der Kreisumfang U.
Berechnung
Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 10 cm für den Radius r ein, beträgt der Umfang des Kreises U = 2 × 10 cm × π = 62,83 cm.
Wie berechnet man aus dem Durchmesser den Kreisumfang?
Gegeben sei ein Durchmesser d von 20 cm. Gesucht ist der Kreisumfang U.
Berechnung
Der Umfang U entspricht dem Durchmesser d multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = d × π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Umfang des Kreises U = 20 cm × π = 62,83 cm.
Wie berechnet man aus der Kreisfläche den Kreisumfang?
Gegeben sei eine Kreisfläche A von 100 cm². Gesucht ist der Kreisumfang U.
Berechnung
Die allgemeine Formel für die Kreisfläche A lautet A = r² × π. Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r berechnet werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Kreisfläche A geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = A / π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 100 cm² für die Fläche A ein, beträgt der Radius des Kreises r = 100 cm / π = 5,64 cm.
Anhand des so berechneten Radius kann nun die allgemeine Berechnungsformel für den Umfang verwendet werden: Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.
Setzt man den zuvor berechneten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang des Kreises U = 2 × 5,64 cm × π = 35,45 cm.
4. Fläche berechnen
Die folgenden Beispiele illustrieren die Berechnung der Kreisfläche anhand Radius, Durchmesser und Kreisumfang.
Wie berechnet man aus dem Radius die Kreisfläche?
Gegeben sei ein Radius r von 10 cm. Gesucht ist die Kreisfläche A.
Berechnung
Die Kreisfläche A entspricht dem Quadrat des Radius, also r² multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) und somit A = r² × π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 10 cm für den Radius r ein, beträgt die Fläche des Kreises A = (10 cm)² × π = 314,16 cm².
Wie berechnet man aus dem Durchmesser die Kreisfläche?
Gegeben sei ein Durchmesser d von 20 cm. Gesucht ist die Kreisfläche A.
Berechnung
Die Fläche A entspricht dem halben Durchmesser zum Quadrat, also (d / 2)² multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) und somit A = (d / 2)² × π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm für den Durchmesser d ein, beträgt die Fläche des Kreises A = (20 cm / 2)² × π = 314,16 cm².
Wie berechnet man aus dem Kreisumfang die Kreisfläche?
Gegeben sei ein Kreisumfang U von 30 cm. Gesucht ist die Kreisfläche A.
Berechnung
Die Fläche A leitet man aus dem Umfang beispielsweise her, indem man zunächst den Kreisradius r anhand des Umfangs bestimmt, denn dann kann man die gängige Formel für die Kreisfläche, nämlich A = r² × π verwenden.
Die Berechnung des Radius anhand des Umfangs wird im Beispiel zur Umrechnung vom Umfang zum Radius bereits hergeleitet und beträgt 4,77 cm.
Setzt man nun den hier anhand des im Beispiel gewählten Umfangs von 30 cm berechneten Wert für den Radius r, nämlich 4,77 cm ein, beträgt die Fläche des Kreises A = (4,77 cm)² × π = 71,62 cm².
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Quellenangaben
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Letzte Aktualisierung
Diese Seite der Themenwelt "Kreis" wurde von mir, Michael Mühl, zuletzt am 30.11.2024 redaktionell überprüft oder ergänzt. Sie entspricht dem aktuellen Stand.
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- Veröffentlichung des Bereichs Kreis berechnen nebst dazugehöriger Texte.
- Redaktionelle Überarbeitung dieser Seite