Für jeden dieser geometrischen Körper wird anhand der passenden Volumen-Formel das Volumen inkl. ausführliche Herleitung berechnet. Wenn Sie stattdessen z.B Liter in Milliliter oder beliebige andere Volumen umrechnen möchten, dann besuchen Sie unseren speziellen Volumen-Umrechner.
Inhalte zum Thema "Volumen berechnen"
Inhalt
Eingabehilfe zum Volumen Rechner
Der Rechner zur Volumenberechnung enthält mehrere Eingabefelder, welche hier genauer erläutert werden:
Körper
Wählen sie bitte den geometrischen Körper aus, für den Sie das Volumen berechnen möchten.
Es werden dann eine Skizze zu dem ausgewählten Körper und die erforderlichen Maße eingeblendet, um das Volumen des jeweiligen
Körpers zu berechnen.
Die Berechnung des Volumens zu folgenden geometrischen Körpern wird unterstützt: Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Pyramide
und Kugel.
Größeneinheit
Wählen Sie hier die passende Größeneinheit aus, um diese für die entsprechenden Eingabefelder und Ergebnisse anzeigen zu lassen.
Sie können mm, cm, dm, m und km auswählen.
Eingaben für ausgewählten geometrischen Körper
Hier werden anhand des ausgewählten geometrischen Körpers verschiedene Eingabefelder zur Verfügung gestellt. Geben Sie hier
bitte die bekannten, also gegebenen Werte ein, um das Volumen zu berechnen.
Skizze
Die Skizze zeigt Ihnen den ausgewählten geometrischen Körper an.
So können sie sich ein Bild davon machen, wie Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Zylinder Pyramide und Kugel definiert sind.
Die Anzeige wechselt, sobald Sie einen anderen geometrischen Körper auswählen.
Volumenberechnung für Quader
Als erstes stellen wir die Berechnung des Volumens für den Quader vor. Nach einer Definition des Quaders stellen wir die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumen für den Quader vor. Anschließend veranschaulicht ein Beispiel zur Volumenberechnung für den Quader, wie die Formel angewandt wird.
Definition Quader
Ein Quader ist ein geometrischer Körper, der von 6 Rechtecken begrenzt wird. Ein Quader hat
- 6 rechteckige Seitenflächen, welche im rechten Winkel zueinander stehen,
- 8 rechtwinklige Ecken und
- 12 Kanten, von denen jeweils vier gleiche Längen besitzen und zueinander parallel sind
Gegenüberliegende Flächen eines Quaders sind parallel zueinander.
Formel für das Volumen eines Quaders
Das Volumen V für einen Quader wird berechnet, indem man die drei Dimensionen a, b, c des Quaders, also Länge, Breite und Höhe oder z.B. auch Höhe, Breite und Tiefe, wie es bei Möbeln häufig angegeben wird, miteinander multipliziert. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Quader lautet demnach
V = a × b × c
Konkrete Volumenberechnung für einen Quader
Gegeben sei bei einem Quader die Höhe a von 3 cm, die Breite b von 4 cm und die Tiefe c von 5 cm. Gesucht ist das Volumen V des Quaders.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Quader lautet V = a × b × c, wobei a, b und c der Höhe, Breite und Tiefe eines Quaders entspricht.
Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für die Höhe a von 3 cm, die Breite b von 4 cm und die Tiefe c von 5 cm ein, beträgt das Volumen V des Quaders V = 2 cm × 3 cm × 4 cm = 24 cm³.
Volumenberechnung für Würfel
Hier folgt die Berechnung des Volumens für den Würfel. Nach einer Definition des Würfels als Spezialfall des zuvor beschriebenen Quaders zeigen wir die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens für den Würfel. Im Anschluss folgt ein Beispiel zur Volumenberechnung für den Würfel anhand dieser Formel.
Definition Würfel
Der Würfel ist ein spezieller Quader, bei dem alle Kanten gleich lang und alle sechs Flächen quadratisch sind.
Formel für das Volumen eines Würfels
Das Volumen V für einen Würfel wird berechnet, indem man die drei Dimensionen des Würfels, also Höhe, Breite und Tiefe miteinander multipliziert. Da die drei Dimensionen bei einem Würfel gemäß Definition immer gleich groß sind, reicht es somit aus, eine einzige Seitenlänge (Kantenlänge) a dreimal mit sich selbst zu multiplizieren. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Würfel lautet demnach
V = a³
Konkrete Volumenberechnung für einen Würfel
Gegeben sei bei einem Würfel eine Seitenlänge a von 3 cm. Gesucht ist das Volumen V des Würfels.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Würfel lautet V = a³, wobei a der Seitenlänge eines Würfels entspricht.
Setzt man den im Beispiel gewählten Wert für die Seitenlänge a von 3 cm ein, beträgt das Volumen V des Würfels V = (3 cm)³ = 27 cm³.
Volumenberechnung für Zylinder
Nun kommen wir zur Berechnung des Volumens für den Zylinder. Im Anschluss an die Definition des Zylinders folgt die allgemeine Formel für seine Volumenberechnung. Dann folgt ein Beispiel zur Berechnung des Volumens anhand dieser Formel.
Hinweis: Spezieller Zylinder-Rechner
Spezielle Berechnungen rund um den Zylinder, also Berechnungen des Volumens, der Grundfläche, der Mantelfläche und vieles mehr finden Sie auf unserer Seite zum Zylinder-Rechner.
Definition Zylinder
Ein Zylinder (Kreiszylinder) ist ein geometrischer Körper. Er wird gebildet durch zwei parallele, gleich große, kreisrunde Grundflächen, die durch einen Mantel miteinander verbunden sind.
Formel für das Volumen eines Zylinders
Das Volumen V für den Zylinder wird berechnet, indem man den Flächeninhalt seiner Grundfläche G mit der Zylinderhöhe h multipliziert. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Zylinder lautet demnach
V = G × h
Konkrete Volumenberechnung für einen Zylinder
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche G von 3 cm² und einer Höhe h von 5 cm. Gesucht ist das Volumen V des Zylinders.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Würfel lautet V = G × h, wobei G der Grundfläche und h der Höhe eines Zylinders entspricht.
Setzt man den im Beispiel gewählten Werte für die Grundfläche G von 3 cm² und für die Höhe h von 5 cm ein, beträgt das Volumen V des Zylinders V = 3 cm² × 5 cm = 15 cm³.
Weitere Beispiele zur Volumenberechnung des Zylinders
Auf der Seite mit unserem speziellen Zylinder-Rechner erhalten Sie zahlreiche weitere Beispiele zur Berechnung des Zylindervolumens. Dort zeigen wir etwa auch die Berechnung des Volumens anhand der Mantelfläche eines Zylinders und vieles, vieles mehr.
Volumenberechnung für Kegel
Im Folgenden zeigen wir die Berechnung des Volumens für den Kegel. Nach der Definition des Kegels folgt die allgemeine Formel für die Berechnung des Kegelvolumens. Schließlich zeigen wir Beispiele zur Berechnung des Kegelvolumens mit Hilfe dieser Formel.
Definition Kegel
Ein Kegel oder Konus, hier speziell ein gerader Kreiskegel ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte der Kreislinie einer Kreisscheibe geradlinig mit einem Punkt außerhalb der Kreisfläche verbindet.
Dieser Punkt ist die Spitze (auch Scheitel bzw. Apex) des Kegels, die Kreisscheibe ist die Grundfläche des Kegels und die Kreislinie die Leitkurve (Kante) des Kegels. Die Fläche an der Seite ist die Mantelfläche des Kegels. Ein Kegel besteht also aus einer Spitze, einer Kante und zwei Flächen, nämlich der Mantel- und der Grundfläche.
Der Abstand vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze ist die Höhe h des Kegels. Steht diese Achse senkrecht zur Grundfläche, so liegt ein gerader Kreiskegel oder Drehkegel vor.
Formel für das Volumen eines Kegels
Das Volumen V für einen Kegel wird berechnet, indem man ein Drittel seiner Grundfläche G mit der Kegelhöhe h multipliziert. Während bei Zylindern und anderen Körpern, wie dem Quader und dem Würfel das Volumen letztlich über die Multiplikation von Grundfläche und Höhe erfolgt, ist es beim Kegel und anderen Spitzkörpern, wie z.B. der Pyramide so, dass das Volumen eben nur einem Drittel von G × h entspricht. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Kegel lautet demnach
V = ⅓ × G × h
Aus Grundfläche und Höhe das Volumen eines Kegels berechnen
Gegeben sei ein Kegel mit einer Grundfläche G von 3 cm² und einer Höhe h von 5 cm. Gesucht ist das Volumen V des Kegels.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Kegel lautet V = ⅓ × G × h, wobei G die Grundfläche und h die Höhe des Kegels ist.
Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für die Grundfläche G mit 3 cm² und die Höhe h mit 5 cm ein, beträgt das Volumen V des Kegels V = ⅓ × 3 cm² × 5 cm = 5 cm³.
Aus Radius und Höhe das Volumen eines Kegels berechnen
Gegeben sei ein Kegel mit einem Radius r von 3 cm und einer Höhe h von 5 cm. Gesucht ist das Volumen V des Kegels.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Kegel lautet V = ⅓ × G × h, wobei G die Grundfläche und h die Höhe des Kegels ist.
Die Formel für die kreisrunde Grundfläche G des Kegels lautet G = r² × π, wobei r der Radius des Kegels und π die Kreiszahl Pi (π = 3,1415...) ist. In der obigen Volumenformel kann man somit G durch r² × π ersetzen:
Aus V = ⅓ × G × h wird also V = ⅓ × r² × π × h
Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für den Radius r mit 3 cm und die Höhe h mit 5 cm ein, beträgt das Volumen V des Kegels V = ⅓ × (3 cm)² × π × 5 cm ≈ 47,12 cm³.
Aus Durchmesser und Höhe das Volumen eines Kegels berechnen
Gegeben sei ein Kegel mit einem Durchmesser d von 3 cm und einer Höhe h von 5 cm. Gesucht ist das Volumen V des Kegels.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Kegel lautet V = ⅓ × G × h, wobei G die Grundfläche und h die Höhe des Kegels ist.
Die Formel für die kreisrunde Grundfläche G des Kegels lautet G = r² × π, wobei r der Radius des Kegels und π die Kreiszahl Pi (π = 3,1415...) ist. In der obigen Volumenformel kann man somit G durch r² × π ersetzen:
Aus V = ⅓ × G × h wird also V = ⅓ × r² × π × h
Der im Beispiel gegebene Durchmesser d entspricht dem zweifachen Radius, so dass wir in der Formel schließlich r durch d/2 ersetzen können: Wir erhalten schließlich V = ⅓ × (d/2)² × π × h.
Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für den Durchmesser d mit 3 cm und die Höhe h mit 5 cm ein, beträgt das Volumen V des Kegels V = ⅓ × (3 cm/2)² × π × 5 cm ≈ 11,78 cm³.
Aus Umfang und Höhe das Volumen eines Kegels berechnen
Gegeben sei ein Kegel mit einem Umfang U von 3 cm und einer Höhe h von 5 cm. Gesucht ist das Volumen V des Kegels.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für einen Kegel lautet V = ⅓ × G × h, wobei G die Grundfläche und h die Höhe des Kegels ist.
Die Formel für die kreisrunde Grundfläche G des Kegels lautet G = r² × π, wobei r der Radius des Kegels und π die Kreiszahl Pi (π = 3,1415...) ist. In der obigen Volumenformel kann man somit G durch r² × π ersetzen:
Aus V = ⅓ × G × h wird also V = ⅓ × r² × π × h
Der im Beispiel gegebene Umfang U entspricht 2 × r × π, so dass wir in der Formel schließlich r durch U/(2π) ersetzen können: Wir erhalten also V = ⅓ × (U/(2π))² × π × h.
Fasst man diese Formel zusammen, so erhalten wir schließlich die Formel V = ⅓ × U² / (4π) × h.
Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für den Umfang U mit 3 cm und die Höhe h mit 5 cm ein, beträgt das Volumen V des Kegels V = ⅓ × (3 cm)² / (4π) × 5 cm ≈ 1,19 cm³.
Volumenberechnung bei Pyramiden
Nun zeigen wir Ihnen die Volumenberechnungen bei Pyramiden. Nach eine einführenden Definition der Pyramide als geometrischer Körper folgt die allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens einer Pyramide. Dann zeigen wir Ihnen Beispiele zur Berechnung des Pyramidenvolumens anhand dieser Formel.
Definition Pyramide
Eine Pyramide, hier speziell eine gerade quadratische Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einer quadratischen Grundfläche und einer Spitze S, also einem Punkt senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrates, der mit den vier Ecken des Quadrats verbunden ist.
Eine solche Pyramide besteht somit aus fünf Flächen, zum einen die quadratische Grundfläche sowie vier gleichen Dreiecken mit dem gemeinsamen Punkt S, also der Spitze der Pyramide. Die Pyramide ähnelt dem Kegel, wobei beim Kegel die Grundfläche rund ist, während sie bei der Pyramide eckig ist.
Der Abstand vom Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche zur Spitze S ist die Höhe h der Pyramide.
Formel für das Volumen einer Pyramide
Das Volumen V für eine Pyramide wird berechnet, indem man ein Drittel ihrer Grundfläche G mit ihrer Höhe h multipliziert. Während bei Zylindern und anderen Körpern, wie dem Quader und dem Würfel das Volumen letztlich über die Multiplikation von Grundfläche und Höhe erfolgt, ist es bei der Pyramide und anderen Spitzkörpern, wie z.B. dem Kegel so, dass das Volumen eben nur einem Drittel von G × h entspricht. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für eine Pyramide lautet demnach
V = ⅓ × G × h
Aus Grundfläche und Höhe das Volumen einer Pyramide berechnen
Gegeben sei eine Pyramide mit einer Grundfläche G von 3 cm² und einer Höhe h von 5 cm. Gesucht ist das Volumen V der Pyramide.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für eine Pyramide lautet V = ⅓ × G × h, wobei G die Grundfläche und h die Höhe der Pyramide ist.
Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für die Grundfläche G mit 3 cm² und die Höhe h mit 5 cm ein, beträgt das Volumen V der Pyramide V = ⅓ × 3 cm² × 5 cm = 5 cm³.
Aus Grundseite und Höhe das Volumen einer Pyramide berechnen
Gegeben sei eine Pyramide mit einer Grundseite a von 3 cm und einer Höhe h von 5 cm. Gesucht ist das Volumen V der Pyramide.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für eine Pyramide lautet V = ⅓ × G × h, wobei G die Grundfläche und h die Höhe der Pyramide ist.
Die Formel für die quadratische Grundfläche G der Pyramide lautet G = a², wobei a die Seitenlänge der Grundfläche ist. In der obigen Volumenformel kann man somit G durch a² ersetzen:
Aus V = ⅓ × G × h wird also V = ⅓ × a² × h
Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für die Grundseite a mit 3 cm und die Höhe h mit 5 cm ein, beträgt das Volumen V der Pyramide V = ⅓ × (3 cm)² × 5 cm = 15 cm³.
Volumenberechnung bei Kugeln
Abschließen zeigen wir Ihnen die Volumenberechnung für die Kugel. Nach einer kurzen Definition für die Kugel als geometrischer Körper zeigen wir die allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens einer Kugel. Dann folgen Beispiele zur Berechnung des Kugelvolumens anhand dieser Formel.
Definition Kugel
Als Kugel ist die Menge aller Punkte des Raums definiert, welche von einem festen Punkt M, dem Mittelpunkt der Kugel, den gleichen Abstand r haben. Dieser Abstand heißt Radius der Kugel.
Formel für das Volumen einer Kugel
Das Volumen V für eine Kugel wird berechnet, indem man 4/3 mal π mit der Kubikzahl des Radius der Kugel multipliziert. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für eine Kugel lautet demnach
V = 4/3 × π × r³
Aus dem Radius das Volumen einer Kugel berechnen
Gegeben sei eine Kugel mit einem Radius r von 3 cm. Gesucht ist das Volumen V der Kugel.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für eine Kugel lautet V = 4/3 × π × r³, wobei r der Radius der Kugel ist.
Setzt man den im Beispiel gewählten Wert für den Radius r mit 3 cm ein, beträgt das Volumen V der Kugel V = 4/3 × π × (3 cm)³ ≈ 113,1 cm³.
Aus dem Durchmesser das Volumen einer Kugel berechnen
Gegeben sei eine Kugel mit einem Durchmesser d von 3 cm. Gesucht ist das Volumen V der Kugel.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für eine Kugel lautet V = 4/3 × π × r³, wobei r der Radius der Kugel ist.
Der gegebene Durchmesser d entspricht dem zweifachen Radius, so dass wir in der Formel schließlich r durch d/2 ersetzen können:
Aus V = 4/3 × π × r³ wird also 3 × π × (d/2)³.
Setzt man den im Beispiel gewählten Wert für den Durchmesser d mit 3 cm ein, beträgt das Volumen V der Kugel V = 4/3 × π × (3 cm / 2)³ ≈ 14,14 cm³.
Aus dem Umfang das Volumen einer Kugel berechnen
Gegeben sei eine Kugel mit einem Umfang U von 3 cm. Gesucht ist das Volumen V der Kugel.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für eine Kugel lautet V = 4/3 × π × r³, wobei r der Radius der Kugel ist.
Der gegebene Umfang U einer Kugel entspricht 2 × r × π, so dass wir in der Formel schließlich r durch U/(2π) ersetzen können:
Aus V = 4/3 × π × r³ wird also V = 4/3 × π × (U/(2π))³.
Setzt man den im Beispiel gewählten Wert für den Umfang U mit 3 cm ein, beträgt das Volumen V der Kugel V = 4/3 × π × (3 cm / (2π))³ ≈ 0,46 cm³.
Aus der Oberfläche das Volumen einer Kugel berechnen
Gegeben sei eine Kugel mit einer Oberfläche U von 3 cm². Gesucht ist das Volumen V der Kugel.
Berechnung
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens V für eine Kugel lautet V = 4/3 × π × r³, wobei r der Radius der Kugel ist.
Die Oberfläche O einer Kugel entspricht 4 × π × r², so dass wir in der Formel schließlich r durch O / (4π) ersetzen können:
Aus V = 4/3 × π × r³ wird somit V = 4/3 × π × (O / (4π))³
Setzt man den im Beispiel gewählten Wert für die Oberfläche O mit 3 cm² ein, beträgt das Volumen V der Kugel V = 4/3 × π × (3 cm² / (4π))³ ≈ 0,49 cm³.
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Letzte Aktualisierung
Diese Seite der Themenwelt "Volumen" wurde von mir, Michael Mühl, zuletzt am 30.11.2024 redaktionell überprüft oder ergänzt. Sie entspricht dem aktuellen Stand.
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