Auf dieser Seite finden Sie zahlreiche anschauliche Beispiele rund um den Zylinder. Ob Volumen, Oberfläche oder Mantelfläche – die Beispiele machen die Formeln greifbar und zeigen, wie sie praktisch angewendet werden. Perfekt für Schüler, Studierende und alle, die ihr Wissen vertiefen möchten!
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Zu den Beispielen
Inhalt
Grundlagen zu den Beispielen
Zur Bestimmung eines Zylinders benötigt man zwei bekannte Werte:
- Zunächst muss ein Wert für die Ermittlung der Zylinder-Grundfläche, also entweder der Radius, der Durchmesser, der Umfang oder der Grundflächeninhalt selber gegeben sein.
- Dann muss noch einer der drei Werte für die Zylinderhöhe, das Volumen oder die Mantelfläche bekannt sein, um zusammen mit der bereits ermittelten Grundfläche die jeweils beiden anderen und auch schließlich die gesamte Zylinderoberfläche herzuleiten.
Im Folgenden unter 1.1 bis 1.4 zeigen wir Ihnen daher zunächst 12 Beispiele, welche die Zylinder-Grundfläche betreffen.
Anschließend unter 2.1 bis 2.4 folgen die weiteren Beispiele zur Bestimmung des gesamten Zylinders anhand der nunmehr bekannten Grundfläche und des zweiten bekannten Werts, also Höhe, Volumen bzw. Mantelfläche.
1.1 Radius Zylinder
Die folgenden drei Beispiele zeigen die Ermittlung des Zylinderradius mittels der Zylinderseigenschaften Durchmesser, Umfang und Grundfläche.
Anhand des Durchmessers den Radius bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einem Durchmesser d von 5 cm. Gesucht ist der Radius r des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Der Zylinderradius r entspricht dem halben Durchmesser d, also r = d / 2.
Setzt man die im Beispiel gewählten 5 cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 5 cm / 2 = 2,5 cm.
Anhand des Umfangs den Radius bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einem Umfang U von 15 cm. Gesucht ist der Radius r des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die Formel für den Zylinderumfang U lautet U = 2 × r × π. Stellt man diese Formel nach r um, so entspricht der Radius r der Hälfte der Division aus Umfang geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = U / π / 2.
Setzt man die im Beispiel gewählten 15 cm für den Umfang U ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 15 cm / π / 2 ≈ 2,39 cm.
Anhand der Grundfläche den Radius bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche G von 20 cm². Gesucht ist der Radius r des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die allgemeine Formel für die Grundfläche G lautet G = r² × π. Stellt man diese Formel nach r um, so entspricht der Radius r der Wurzel des Ergebnisses von Grundfläche G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm² für die Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.
1.2 Durchmesser Zylinder
Folgende drei Beispiele zeigen die Ermittlung des Durchmessers anhand der Zylindereigenschaften Radius, Umfang und Grundfläche.
Anhand des Radius den Durchmesser bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mir einem Radius r von 2,5 cm. Gesucht ist der Durchmesser d des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Der Durchmesser d entspricht dem zweifachen Radius r, also d = 2 × r.
Setzt man die im Beispiel gewählten 2,5 cm für den Radius r ein, beträgt der Durchmesser des Zylinders d = 2 × 2,5 cm = 5 cm.
Anhand des Umfangs den Durchmesser bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einem Umfang U von 15 cm. Gesucht ist der Durchmesser d der Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die Formel für den Umfang lautet U = d × π. Stellt man diese Formel nach d um, so entspricht der Durchmesser d der Division aus Umfang geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also d = U / π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 15 cm für den Umfang U ein, beträgt der Durchmesser des Zylinders d = 15 cm / π ≈ 4,77 cm.
Anhand der Grundfläche den Durchmesser bestimmen
Gegeben sei eine Zylinder mit einer Grundfläche G von 20 cm². Gesucht ist der Durchmesser d des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die allgemeine Formel für den Grundflächeninhalt G lautet G = r² × π. Da der Durchmesser d dem zweifachen Radius r entspricht, gilt demnach die Formel G = (d / 2)² × π. Stellt man diese Formel nach d um, so entspricht der Durchmesser d der zweifachen Wurzel aus der Division von Grundfläche G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also d = 2 × G / π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm² für die Grundfläche G ein, beträgt der Durchmesser des Zylinders d = 2 × 20 cm / π ≈ 5,05 cm.
1.3 Umfang Zylinder
Die folgenden drei Beispiele veranschaulichen das Bestimmen des Zylinderumfangs mittels Radius, Durchmesser und Grundfläche.
Anhand des Radius den Umfang bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einem Radius r von 2,5 cm. Gesucht ist der Zylinderumfang U des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 2,5 cm für den Radius r ein, beträgt der Umfang des Zylinders U = 2 × 2,5 cm × π ≈ 15,71 cm.
Anhand des Durchmessers den Umfang bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einem Durchmesser d von 5 cm. Gesucht ist der Umfang U des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Der Umfang U entspricht dem Durchmesser d multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = d × π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 5 cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Umfang des Zylinders U = 5 cm × π ≈ 15,71 cm.
Anhand der Grundfläche den Umfang bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche G von 20 cm². Gesucht ist der Umfang U des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die allgemeine Formel für die Grundfläche G lautet G = r² × π.
Zwischenwert Radius
Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r bestimmt werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundfläche G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm² für die Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm / π ≈ 2,52 cm.
Ermittlung Umfang
Anhand des so ermittelten Radius kann nun die allgemeine Formel für den Umfang verwendet werden: Der Umfang U des Zylinders entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.
Setzt man den Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.
1.4 Grundflächeninhalt Zylinder
Die folgenden drei Beispiele illustrieren die Ermittlung des Grundflächeninhalts anhand Radius, Durchmesser und Zylinderumfang.
Anhand des Radius den Grundflächeninhalt bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einem Radius r von 2,5 cm. Gesucht ist der Grundflächeninhalt G des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die Grundfläche G entspricht dem Quadrat des Radius, also r² multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) und somit G = r² × π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 2,5 cm für den Radius r ein, beträgt die Grundfläche des Zylinders G = (2,5 cm)² × π ≈ 19,63 cm².
Anhand des Durchmessers den Grundflächeninhalt bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einem Durchmesser d von 5 cm. Gesucht ist der Grundflächeninhalt G des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die Grundfläche G entspricht dem halben Durchmesser zum Quadrat, also (d / 2)² multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) und somit G = (d / 2)² × π.
Setzt man die im Beispiel gewählten 5 cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Grundflächeninhalt G des Zylinders G = (5 cm / 2)² × π ≈ 19,63 cm².
Anhand des Umfangs den Grundflächeninhalt bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einem Umfang U von 15 cm. Gesucht ist der Grundflächeninhalt G des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die Grundfläche G leitet man aus dem Umfang beispielsweise her, indem man zunächst den Zylinderradius r anhand des Umfangs bestimmt, denn dann kann man die gängige Formel für die Grundfläche, nämlich G = r² × π verwenden.
Zwischenwert Radius
Um also zunächst den Radius zu ermitteln, kann man die Formel für den Zylinderumfang U = 2 × r × π nach r umstellen, so dass man r = U / π / 2 erhält.
Setzt man die im Beispiel gewählten 15 cm für den Umfang U ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 15 cm / π / 2 ≈ 2,39 cm.
Ermittlung Grundfläche
Setzt man nun schließlich den Wert für den Radius r, nämlich 2,39 cm in die eingangs erwähnte gängige Formel für die Grundfläche G = r² × π ein, beträgt die Grundläche des Zylinders G = (2,39 cm)² × π ≈ 17,90 cm².
2.1 Höhe Zylinder
Die folgenden zwei Beispiele veranschaulichen das Bestimmen des Zylinderhöhe. Das erste Beispiel zeigt das Ermitteln der Zylinderhöhe mittels Grundfläche und Volumen des Zylinders. Das zweite Beispiel zeigt das Ermitteln der Zylinderhöhe mittels Grundfläche und Mantelfläche des Zylinders.
Anhand Grundfläche und Volumen die Höhe bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einem Volumen von 300 cm³. Gesucht ist die Höhe h des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die allgemeine Formel für das Volumen V eines Zylinders lautet V = G × h wobei G der Grundflächeninhalt und h die Höhe des Zylinders ist. Stellt man diese Formel nach h um, so erhält man h = V / G. Die Höhe h eines Zylinders entspricht also dem Zylindervolumen V geteilt durch dessen Grundflächeninhalt G.
Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für das Volumen V und die Grundfläche G ein, beträgt die Höhe h h = 300 cm³ / 20 cm² = 15 cm.
Anhand Grundfläche und Mantelfläche die Höhe bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Mantelfläche von 200 cm². Gesucht ist die Höhe h des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die aufgerollte Mantelfläche eines Zylinders ist ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und einer Breite, die gleich dem Umfang des Zylinders ist. Teilt man die gegebene Mantelfläche M durch den Zylinderumfang U, so erhält man deren Höhe und somit die Höhe h des Zylinders. Die Formel dafür lautet also h = M / U.
Zwischenwert Umfang
Den Umfang U erhält man anhand der gegebenen Grundfläche, denn es gilt zunächst G = r² × π. Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r bestimmt werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundflächeninhalt G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.
Setzt man den eingegebenen Wert für die Zylinder-Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.
Anhand des so ermittelten Radius kann nun die allgemeine Formel für den Zylinderumfang verwendet werden: Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.
Setzt man den zuvor ermittelten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang der Grundfläche und damit des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.
Ermittlung Höhe
Setzt man schließlich den eingegebenen Wert für die Mantelfläche M und den so bestimmten Umfang U in die eingangs genannte Formel für die Höhe h = M / U ein, beträgt die Zylinderhöhe h = 200 cm² / 15,85 cm ≈ 12,62 cm.
2.2 Volumen Zylinder
Die folgenden zwei Beispiele veranschaulichen das Bestimmen des Volumens. Das erste Beispiel zeigt die Ermittlung des Zylindervolumens mittels Grundfläche und Höhe des Zylinders. Das zweite Beispiel zeigt die Ermittlung der Zylindervolumens mittels Grundfläche und Mantelfläche des Zylinders.
Anhand Grundfläche und Höhe das Volumen bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Höhe von 15 cm. Gesucht ist das Volumen V des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die allgemeine Formel für das Volumen V eines Zylinders lautet V = G × h wobei G der Grundflächeninhalt und h die Höhe des Zylinders ist.
Setzt man die im Beispiel gewählten Werte für die Grundfläche G und die Höhe h ein, beträgt das Volumen V V = 20 cm² × 15 cm = 300 cm³.
Anhand Grundfläche und Mantelfläche das Volumen bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Mantelfläche von 250 cm². Gesucht ist die Höhe h des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die allgemeine Formel für das Volumen V eines Zylinders lautet V = G × h wobei G der Grundflächeninhalt und h die Höhe des Zylinders ist. Die Grundfläche G ist im Beispiel gegeben. Die Höhe h des Zylinders kann nun anhand der gegebenen Mantelfläche bestimmt werden:
Die aufgerollte Mantelfläche eines Zylinders ist ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und einer Breite, die gleich dem Umfang des Zylinders ist. Teilt man die gegebene Mantelfläche M durch den Zylinderumfang U, so erhält man deren Höhe und somit die Höhe h des Zylinders. Die Formel dafür lautet also h = M / U.
Zwischenwert Umfang
Den Umfang U erhält man anhand der gegebenen Grundfläche, denn es gilt zunächst G = r² × π. Mit Hilfe dieser Formel kann nun zunächst der Radius r bestimmt werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundflächeninhalt G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.
Setzt man den eingegebenen Wert für die Zylinder-Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.
Anhand des so ermittelten Radius kann nun die allgemeine Formel für den Zylinderumfang verwendet werden: Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.
Setzt man den zuvor ermittelten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang der Grundfläche und damit des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.
Zwischenwert Höhe
Setzt man schließlich den eingegebenenen Wert für die Mantelfläche M und den oben bestimmten Umfang ein, beträgt die Zylinderhöhe h h = 250 cm² / 15,85 cm ≈ 15,77 cm.
Ermittlung Volumen
Das Volumen V eines Zylinders entspricht, wie eingangs erwähnt, schließlich dem Produkt von Grundflächeninhalt G und der Höhe h des Zylinders und somit V = G × h.
Setzt man schließlich hier die Werte für den eingegebenenen Grundflächeninhalt G und die gerade aus der gegebenen Mantelfläche bestimmten Höhe h ein, beträgt das Volumen V = 20 cm² × 15,77 cm ≈ 315,39 cm³.
2.3 Mantelfläche Zylinder
Die folgenden zwei Beispiele veranschaulichen das Bestimmen der Mantelfläche. Das erste Beispiel zeigt die Ermittlung der Mantelfläche mittels Grundfläche und Höhe des Zylinders. Das zweite Beispiel zeigt die Ermittlung der Mantelfläche mittels Grundfläche und Volumen des Zylinders.
Anhand Grundfläche und Höhe die Mantelfläche bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Höhe von 15 cm. Gesucht ist die Mantelfläche des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die aufgerollte Mantelfläche M eines Zylinders ist ein Rechteck mit der Höhe h des Zylinders und einer Breite, die gleich dem Umfang U des Zylinders ist. Daher gilt die Formel M = h × U.
Zwischenwert Umfang
Den Umfang U erhält man anhand der gegebenen Grundfläche, denn es gilt zunächst G = r² × π. Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r bestimmt werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundflächeninhalt G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.
Setzt man den eingegebenen Wert für die Zylinder-Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.
Anhand des so ermittelten Radius kann nun die allgemeine Formel für den Zylinderumfang verwendet werden: Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.
Setzt man den zuvor ermittelten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang der Grundfläche und damit des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.
Bestimmung der Mantelfläche
Setzt man den eingegebenenen Wert für die Höhe h und den so ermittelten Umfang U ein, beträgt die Mantelfläche M schließlich M = 15 cm × 15,85 cm ≈ 237,80 cm².
Anhand Grundfläche und Volumen die Mantelfläche bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einem Volumen von 300 cm³. Gesucht ist die Mantelfläche M des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die aufgerollte Mantelfläche M eines Zylinders ist ein Rechteck mit der Höhe h des Zylinders und einer Breite, die gleich dem Umfang U des Zylinders ist. Die Mantelfläche M kann also anhand der Formel M = h × U bestimmt werden.
Zwischenwert Umfang
Den Umfang U erhält man anhand der gegebenen Grundfläche, denn es gilt zunächst G = r² × π. Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r bestimmt werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius r entspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Grundflächeninhalt G geteilt durch Pi (π = 3,1415...), also r = G / π.
Setzt man den eingegebenen Wert für die Zylinder-Grundfläche G ein, beträgt der Radius des Zylinders r = 20 cm² / π ≈ 2,52 cm.
Anhand des so ermittelten Radius kann nun die allgemeine Formel für den Zylinderumfang verwendet werden: Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), also U = 2 × r × π.
Setzt man den zuvor ermittelten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang der Grundfläche und damit des Zylinders U = 2 × 2,52 cm × π ≈ 15,85 cm.
Zwischenwert Höhe
Die Höhe h kann bei dem gegebenen Volumen V und dem gegebenen Grundflächeninhalt G anhand folgender Formel bestimmt werden: h = V / G.
Setzt man das eingegebene Volumen V und die Grundfläche G ein, beträgt die Höhe somit h = 300 cm³ / 20 cm² = 15 cm.
Bestimmen der Mantelfläche
Nun kann anhand der so ermittelten Höhe h und dem bereits bestimmten Umfang U des Zylinders die Mantelfläche M anhand der Formel M = h × U hergeleitet werden.
Setzt man die Werte für die Höhe h und den Umfang U ein, beträgt die Mantelfläche M = 15 cm × 15,85 cm ≈ 237,80 cm².
2.4 Oberfläche Zylinder
Das folgende abschließende Beispiel zeigt das Bestimmen der Oberfläche eines Zylinders anhand Grundfläche und Mantelfläche.
Anhand Grundfläche und Mantelfläche die Oberfläche bestimmen
Gegeben sei ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Mantelfläche von 200 cm². Gesucht ist die Oberfläche des Zylinders.
Einsetzen in Formel
Die Oberfläche O setzt sich zusammen aus der zweifachen Grundfläche G und der Mantelfläche M, also O = 2 × G + M.
Setzt man die im Beispiel gewählten 20 cm² für die Grundfläche G und 200 cm² für die Mantelfläche M ein, beträgt die Oberfläche O des Zylinders O = 2 × 20 cm² + 200 cm² = 240 cm².
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Quellenangaben
Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Zylinder" verwendet:
Letzte Aktualisierung
Diese Seite der Themenwelt "Zylinder" wurde von mir, Michael Mühl, zuletzt am 10.03.2025 redaktionell überprüft oder ergänzt. Sie entspricht dem aktuellen Stand.
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