Subtrahieren von Brüchen

Wie subtrahiert man Brüche?

Brüche werden subtrahiert, indem sie zuerst gleichnamig gemacht werden und dann die Zähler subtrahiert, also voneinander abgezogen werden. Jeder Bruch wird also zunächst so erweitert, dass dadurch alle zu subtrahierenden Brüche den gleichen Nenner erhalten. Die Zähler der gleichnamigen Brüche werden dann subtrahiert, während der gemeinsame Nenner gleich bleibt.

Im Weiteren zeigen wir schrittweise anhand von Beispielen zunächst die Subtraktion gleichnamiger Brüche, dann das Subtrahieren ungleichnamiger Brüche und schließlich das Subtrahieren gemischter Brüche.

Wie subtrahiert man gleichnamige Brüche?

Sind die zu subtrahierenden Brüche bereits gleichnamig - sie haben also alle den gleichen Nenner - kann man lediglich die Zähler der zu subtrahierenden Brüche voneinander abziehen. Der gemeinsame Nenner bleibt gleich. Auf diese Weise erhält man schließlich die Differenz der Brüche.

In diesem Beispiel haben beide Brüche den gleichen Nenner, also beide die gleiche Zahl unterhalb des Bruchstrichs. Sie sind damit gleichnamig. Zur Subtraktion der beiden Brüche müssen nur noch die beiden Anzahlen, also die beiden oberhalb des Bruchstrichs stehenden Zähler voneinander subtrahiert werden.

Wie subtrahiert man ungleichnamige Brüche?

Brüche sind genau dann ungleichnamig, wenn die jeweiligen Zahlen unterhalb des Bruchstrichs, also die beiden Nenner der zu subtrahierenden Brüche unterschiedlich sind. Ungleichnamige Brüche müssen für die Subtraktion, genauso wie bei der Addition von Brüchen zunächst gleichnamig gemacht werden. Wenn sie dann gleichnamig sind, also den gleichen Nenner haben, müssen nur noch die oberhalb des Bruchstrichs stehenden Zähler voneinander abgezogen werden, während der gemeinsame Nenner bestehen bleibt.

Die beiden hier voneinander zu subtrahierenden Brüche haben anfangs die beiden Nenner 3 und 4. Sie müssen zur Subtraktion zunächst gleichnamig gemacht werden. Hierzu werden beide Brüche so umgeformt, dass sie den gleichen, also einen gemeinsamen Nenner erhalten. Die Brüche werden immer so umgeformt, dass sich ihr Wert, also die Bruchzahl, nicht ändert. Es gibt grundsätzlich mehrere Möglichkeiten der Umformung von Brüchen, die auf der übergeordneten Seite zum Thema Bruchrechnen beschrieben werden.

Gleichnamig machen

Erweitern

Das Erweitern eines Bruchs ist eine Umformung, bei dem der Wert des Bruchs, also die Bruchzahl nicht verändert wird. Denn der vom Bruch dargestellte Anteil wird nur in kleinere Abschnitte unterteilt der Bruch bzw. die Einteilung wird also verfeinert.

Gleichnamig machen anhand des Beispiels

Die beiden Brüche aus obigem Beispiel können wir somit folgendermaßen gleichnamig machen.

Der linke Bruch wird mit dem Nenner 4 des rechten Bruchs erweitert. Erweitern mit 4 heißt, dass Zähler und Nenner des linken Bruchs mit 4 multipliziert werden.

Der rechte Bruch wird mit dem Nenner 3 des linken Bruchs erweitert. Erweitern mit 3 heißt, dass Zähler und Nenner des rechten Bruchs mit 3 multipliziert werden.

Jetzt können die beiden gleichnamigen Brüche, wie im Beispiel subtrahiert werden:

Hinweis

Das beschriebene gleichnamig Machen beruht darauf, die beiden Brüche so zu erweitern, dass die beiden unterschiedlichen Nenner schließlich miteinander multipliziert werden. Dies führt jedoch häufig dazu, dass die Werte der erweiterten Brüche sehr groß werden können, was die darauf folgenden Berechnungen aufwändiger macht. Daher sollte zum gleichnamig Machen der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) der Brüche bestimmt werden. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner und somit häufig kleiner als die Multiplikation der beiden Nenner. Mehr zum kleinsten gemeinsamen Nenner können Sie unter Bruchrechnen nachlesen.

Wie subtrahiert man gemischte Brüche?

Gemischte Brüche setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem gewöhnlichen Bruch zusammen. Sie werden auch gemischte Zahlen genannt. Zur Subtraktion gemischter Brüche wandelt man für jeden Bruch die ganze Zahl zunächst in den jeweils dazugehörigen Bruch um, so dass in der Folge die beiden Brüche voneinander subtrahiert werden können. Dazu müssen diese, wie bei jeder Subtraktion von Brüchen, gegebenenfalls noch gleichnamig gemacht werden, um schließlich die Zähler bei gleichbleibendem Nenner zu subtrahieren.

Der ganzzahlige Teil der beiden gemischten Brüche, also jeweils die Zwei wurde hier in jeweils 6 Drittel umgewandelt und zu dem dazugehörigen Bruch addiert. Die beiden gemischten Brüche wurden also in unechte Brüche umgewandelt. Brüche heißen unecht, wenn der Zähler größer ist als der Nenner.

Umwandlung gemischter in unechte Brüche

Umwandlung anhand des Beispiels

Die beiden gemischten Brüche aus obigem Beispiel werden somit folgendermaßen in unechte Brüche umgewandelt.

Die linke gemischte Zahl wird folgendermaßen umgeformt: Die ganze Zahl 2 wird mit dem Nenner 3 multipliziert und zum bisherigen Zähler 2 addiert.

Die rechte gemischte Zahl wird folgendermaßen umgeformt: Die ganze Zahl 2 wird mit dem Nenner 3 multipliziert und zum bisherigen Zähler 1 addiert.

Subtraktion der beiden Brüche

Da die beiden umgeformten Brüche bereits gleichnamig sind, können sie nun voneinander subtrahiert werden.

Video zum Thema Brüche subtrahieren

Zum Schluss noch ein Video zum Thema Brüche subtrahieren von Lehrer Schmidt. Im Video wird nach einer Einführung zunächst die Subtraktion gleichnamiger Brüche erklärt. Ab 2:42 erklärt Lehrer Schmidt, wie man Brüche erweitert, um den gemeinsamen Nenner für die Subtraktion zweier Brüche zu erhalten. Ab 5:32 wird das Kürzen für den gemeinsamen Nenner beschrieben. Ab 8:27 wird schließlich die Subtraktion von gemischten Brüchen beschrieben.