Dividieren von Brüchen

Wie dividiert man Brüche?

Brüche werden dividiert, indem der eine Bruch mit dem Kehrwert des anderen Bruchs multipliziert wird. Die Brüche werden dann multipliziert, indem alle oberhalb der Bruchstriche stehenden Zähler und auch alle unterhalb der Bruchstriche stehenden Nenner miteinander multipliziert werden.

Es wurden im Beispiel also zunächst der Kehrbruch gebildet, also der Kehrwert des rechten Bruchs mit dem Zähler 3 und dem Nenner 4. Zähler und Nenner wurden also vertauscht, so dass nun der linke Bruch mit dem rechten Kehrbruch multipliziert wird. Anders als bei der Addition von Brüchen oder der Subtraktion von Brüchen können nun die neuen Zähler und ebenso die neuen Nenner miteinander multipliziert werden.

Im Folgenden zeigen wir schrittweise anhand von Beispielen zunächst, wie man Brüche vor der Division geschickt kürzen kann, um anschließend mit möglichst kleinen Zahlen einfach weiter rechnen zu können. Dann dividieren wir ganze Zahlen mit Brüchen und dividieren gemischte Brüche.

Wie kürzt man Brüche vor der Division?

Frühzeitiges Kürzen, also kürzen der Brüche vor der Division des linken Bruchs mit dem rechten Bruch, vermeidet in der Folge das komplizierte Rechnen mit großen Zahlen. Dabei können zum einen die einzelnen an der Division beteiligte Brüche gegebenenfalls gekürzt werden. Zudem kann man aber bei der Division von Brüchen auch "über Kreuz" kürzen, also gegebenenfalls den Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des Kehrbruchs bzw. den Nenner des einen Bruchs mit dem Zähler des Kehrbruchs kürzen, wie wir an folgenden Beispielen verdeutlichen werden. Mehr zum Thema Kürzen finden Sie übrigens auf unserer Übersichtsseite zum Bruchrechnen.

Einzelne Brüche vor dem Dividieren kürzen

Folgendes Beispiel zeigt den Vorteil, wenn man die an der Division beteiligten Brüche vor dem Dividieren kürzt.

Wie man gut erkennen kann, haben wir uns durch das Kürzen der beiden Brüche vor der Division (linker Bruch mit 5 und rechter Bruch mit 7 gekürzt) viel Arbeit gespart. Während die erste Rechnung für manche nur per Taschenrechner zu lösen ist, ist die zweite Division durch das vorherige Kürzen wesentlich einfacher zu berechnen.

Brüche vor dem Dividieren über Kreuz kürzen

Folgendes Beispiel zeigt den Vorteil, dass man bei der Division von Brüchen auch über Kreuz kürzen kann, also den Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des dann zu multiplizierenden Kehrbruchs kürzen kann und umgekehrt.

Auch hier wird der Nutzen des vorherigen Kürzens deutlich. Statt Zähler und Nenner ungekürzt durch die auf die Division folgende Multiplikation mit dem Kehrbruch sehr groß zu machen und am Ende der Rechnung diese großen Zähler und Nenner wieder umständlich zu kürzen, macht es sehr viel Sinn, dass Kürzen bereits vor dem Multiplizieren von Bruch und Kehrbruch durchzuführen. Dabei kann man nicht nur die einzelnen Brüche kürzen, sondern, wie wir gesehen haben, nach der Bildung des Kehrbruchs auch intelligent über Kreuz kürzen.

Wie werden ganze Zahlen durch Brüche dividiert?

Wenn wir ganze Zahlen durch eine Bruch dividieren möchten, nutzen wir die Tatsache, dass sich ganze Zahlen ganz einfach in einen Bruch umwandeln lassen: Jede ganze Zahl lässt sich nämlich als "Eintel" darstellen. Die ganze Zahl 4 lässt sich so also durch den Bruch 4 Eintel darstellen, wie wir am folgenden Beispiel sehen.

Wie eingangs beschrieben, wurde die ganze Zahl 4 in einen Bruch umgewandelt und dann die Division dieses Bruchs mit dem anderen Bruch der Aufgabe durchgeführt.

Wie dividiert man gemischte Brüche?

Gemischte Brüche bzw. gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem gewöhnlichen Bruch zusammen, die miteinander addiert werden, obwohl kein Plus-Zeichen zwischen ihnen steht. Zur Division gemischter Brüche wandelt man für jeden gemischten Bruch die ganze Zahl zunächst in den jeweils dazugehörigen Bruch um, so dass der so entstehende Bruch dann mit dem anderen Bruch der Aufgabe dividiert werden kann.

Der ganzzahlige Teil des gemischten Bruchs, also die Zwei wurde hier in 8 Viertel umgewandelt und zu dem dazugehörigen einem Viertel addiert. Der gemischte Bruch wurde also in einen unechten Bruch umgewandelt. Brüche heißen unecht, wenn der Zähler größer ist als der Nenner.

Umwandlung gemischter in unechte Brüche

Beispiel für die Umwandlung

Der gemischte Bruch aus obigem Beispiel wird somit folgendermaßen in einen unechten Bruch umgewandelt.

Die ganze Zahl 2 wird mit dem Nenner 4 multipliziert und zum bisherigen Zähler 1 addiert.

Dividieren der beiden Brüche

Nun können die beiden Brüche des Beispiels dividiert werden.