Dividieren von Brüchen

Inhalte zum Thema "Brüche dividieren"

Wie dividiert man Brüche?

Brüche werden dividiert, indem der eine Bruch mit dem Kehrwert des anderen Bruchs multipliziert wird. Die Brüche werden dann multipliziert, indem alle oberhalb der Bruchstriche stehenden Zähler und auch alle unterhalb der Bruchstriche stehenden Nenner miteinander multipliziert werden.

Beispiel: Division von Brüchen
12 ÷ 34 = 12 × 43 = 1 × 42 × 3 = 46

Im Beispiel wurde also zunächst der Kehrbruch gebildet, das bedeutet, der Kehrwert des rechten Bruchs mit dem Zähler 3 und dem Nenner 4 wurde genommen. Der Zähler und der Nenner wurden vertauscht, sodass nun der linke Bruch mit dem rechten Kehrbruch multipliziert wird. Im Gegensatz zur Addition von Brüchen oder der Subtraktion von Brüchen können nun die neuen Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden.

Im weiteren Verlauf zeigen wir schrittweise anhand von Beispielen, wie man Brüche vor der Division geschickt kürzen kann, um mit möglichst kleinen Zahlen zu rechnen. Danach werden wir zeigen, wie man ganze Zahlen mit Brüchen dividiert und gemischte Brüche dividiert.

Wie kürzt man Brüche vor der Division?

Ein frühes Kürzen der Brüche vor der Division vermeidet das spätere Rechnen mit großen Zahlen. Es kann zum einen der Zähler und Nenner der einzelnen Brüche vor der Division gekürzt werden. Zudem kann man beim Dividieren von Brüchen auch "über Kreuz" kürzen, das bedeutet, den Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des Kehrbruchs oder den Nenner des einen Bruchs mit dem Zähler des Kehrbruchs zu kürzen, wie wir an folgenden Beispielen zeigen werden. Weitere Informationen zum Thema Kürzen finden Sie auf unserer Übersichtsseite zum Bruchrechnen.

Einzelne Brüche vor dem Dividieren kürzen

Das folgende Beispiel zeigt den Vorteil, wenn man die an der Division beteiligten Brüche vor der Division kürzt.

Beispiel 1: Kürzen einzelner Brüche vor der Division
Statt 420 ÷ 721 = 420 × 217 = 4 × 2120 × 7 = 84140 = 35 vorher beide Brüche kürzen 420 ÷ 721 = 15 ÷ 13 = 15 × 31 = 1 × 35 × 1 = 35

Wie deutlich zu sehen ist, haben wir durch das Kürzen der beiden Brüche vor der Division (linker Bruch mit 5 und rechter Bruch mit 7 gekürzt) eine erhebliche Arbeitserleichterung erzielt. Während die erste Rechnung mit einem Taschenrechner zu lösen wäre, ist die zweite Division nach dem Kürzen viel einfacher.

Brüche vor der Division über Kreuz kürzen

Das folgende Beispiel zeigt den Vorteil des Kreuzkürzens bei der Division von Brüchen. Hierbei wird der Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des Kehrbruchs gekürzt, und umgekehrt.

Beispiel 2: Vor der Division über Kreuz kürzen
Statt 421 ÷ 207 = 421 × 720 = 4 × 721 × 20 = 28420 = 115 vorher über Kreuz kürzen. Wir starten wie vorher: 421 ÷ 207 = 421 × 720 = 4 × 721 × 20 Nun linken Zähler und rechten Nenner mit 5 kürzen 4 × 721 × 20 = 1 × 721 × 5 Nun noch rechten Zähler und linken Nenner mit 7 kürzen 1 × 721 × 5 = 1 × 13 × 5 = 115

Der Nutzen des vorherigen Kürzens wird auch hier deutlich. Durch das Kreuzkürzen vor der Multiplikation mit dem Kehrbruch wird die Berechnung erheblich vereinfacht.

Wie werden ganze Zahlen durch Brüche dividiert?

Wenn ganze Zahlen durch Brüche dividiert werden, lässt sich die ganze Zahl einfach als Bruch darstellen: Jede ganze Zahl kann als „Eintel“ ausgedrückt werden. So wird beispielsweise die ganze Zahl 4 als der Bruch 4 Eintel dargestellt, wie im folgenden Beispiel gezeigt.

Beispiel: Ganze Zahl mit Bruch multiplizieren
4 ÷ 32 = 4 × 23 = 41 × 23 = 4 × 21 × 3 = 83

Wie oben beschrieben, wurde die ganze Zahl 4 in einen Bruch umgewandelt und anschließend die Division dieses Bruchs mit dem anderen Bruch der Aufgabe durchgeführt.

Wie dividiert man gemischte Brüche?

Gemischte Brüche oder gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen, die zusammen addiert werden, ohne dass ein Plus-Zeichen zwischen ihnen steht. Zur Division von gemischten Brüchen wird jeder gemischte Bruch zuerst in einen unechten Bruch umgewandelt, sodass die Division mit dem anderen Bruch durchgeführt werden kann.

Beispiel: Division gemischter Brüche
2 14 ÷ 13 = 94 ÷ 13 = 94 × 31 = 9 × 34 × 1 = 274 = 6 34

Die gemischten Brüche wurden zuerst in unechte Brüche umgewandelt, und die Division der unechten Brüche wurde durchgeführt. Schließlich wurde das Ergebnis wieder in einen gemischten Bruch umgewandelt.