Multiplizieren von Brüchen

Wie multipliziert man Brüche?

Brüche werden multipliziert, indem alle oberhalb der Bruchstriche stehenden Zähler multipliziert werden und auch alle unterhalb der Bruchstriche stehenden Nenner multipliziert werden. Das Ergebnis der Multiplikation von Brüchen ist das Produkt der Brüche.

Es wurden im Beispiel also Zähler mit Zähler multipliziert und Nenner mit Nenner multipliziert. Die Multiplikation von Brüchen ist damit einfacher als die Addition von Brüchen oder die Subtraktion von Brüchen: Während man zur Addition und Subtraktion von Brüchen zunächst einen gemeinsamen Nenner berechnen muss, fällt dies bei der Multiplikation weg. Bei der Multiplikation von Brüchen müssen lediglich die Zähler und die Nenner multipliziert werden.

Im Weiteren zeigen wir schrittweise anhand von Beispielen zunächst, wie man Brüche vor der Multiplikation geschickt kürzen kann, um anschließend mit möglichst kleinen Zahlen bequem weiter rechnen zu können. Dann multiplizieren wir ganze Zahlen mit Brüchen und multiplizieren gemischte Brüche.

Wie kürzt man Brüche vor der Multiplikation?

Frühzeitiges Kürzen, als kürzen der Brüche vor der Multiplikation aller Zähler sowie der Multiplikation aller Nenner, vermeidet in der Folge kompliziertes Rechnen mit großen Zahlen. Dabei können zum einen die einzelnen an der Multiplikation beteiligte Brüche gegebenenfalls gekürzt werden. Zudem kann man aber bei der Multiplikation von Brüchen auch "über Kreuz" kürzen, also gegebenenfalls den Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen Bruchs kürzen, wie wir an folgenden Beispielen verdeutlichen möchten. Mehr zum Thema Kürzen finden Sie übrigens auf unserer Übersichtsseite zum Bruchrechnen.

Einzelne Brüche vor dem Multiplizieren kürzen

Folgendes Beispiel zeigt den Vorteil, wenn man die an der Multiplikation beteiligten Brüche vor der Multiplikation kürzt.

Wie man leicht erkennen kann, haben wir uns durch das Kürzen der beiden Brüche vor der Multiplikation (linker Bruch mit 5 und rechter Bruch mit 7 gekürzt) viel Arbeit gespart. Während die erste Rechnung teils nur per Taschenrechner gelöst werden kann, ist die zweite Multiplikation durch das vorherige Kürzen wesentlich einfacher zu berechnen.

Brüche vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen

Folgendes Beispiel zeigt den Vorteil, dass man bei der Multiplikation von Brüchen auch über Kreuz kürzen kann, also den Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen Bruchs kürzen kann und umgekehrt.

Auch hier sieht man den Nutzen des vorherigen Kürzens. Statt Zähler und Nenner ungekürzt durch die Multiplikation sehr groß zu machen und am Ende der Rechnung diese großen Zähler und Nenner wieder umständlich zu kürzen, macht es großen Sinn, dass Kürzen bereits vor dem Multiplizieren der Brüche durchzuführen. Dabei kann man nicht nur die einzelnen Brüche kürzen, sondern, wie wir gesehen haben, auch intelligent über Kreuz kürzen.

Wie werden ganze Zahlen mit Brüchen multipliziert?

Wenn wir ganze Zahlen mit einem Bruch multiplizieren möchten, machen wir uns zu Nutze, dass sich ganze Zahlen ganz einfach in einen Bruch umwandeln lassen: Jede ganze Zahl lässt sich nämlich als "Eintel" darstellen, also bildet etwa die ganze Zahl 5 den Bruch 5 Eintel, wie wir am folgenden Beispiel sehen.

Wie eingangs beschrieben, wurde die ganze Zahl 5 in einen Bruch umgewandelt und dann die Multiplikation dieses Bruchs mit dem anderen Bruch der Aufgabe durchgeführt.

Wie multipliziert man gemischte Brüche?

Gemischte Brüche, auch gemischte Zahlen genannt, setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem gewöhnlichen Bruch zusammen. Diese beiden werden miteinander addiert, obwohl kein Plus-Zeichen zwischen ihnen steht. Zur Multiplikation gemischter Brüche wandelt man für jeden gemischten Bruch die ganze Zahl zunächst in den jeweils dazugehörigen Bruch um, so dass der so entstehende Bruch dann mit dem anderen Bruch der Aufgabe multipliziert werden kann.

Der ganzzahlige Teil des gemischten Bruchs, also die Zwei wurde hier in 8 Viertel umgewandelt und zu dem dazugehörigen Bruch addiert. Der gemischte Bruch wurde also in einen unechten Bruch umgewandelt. Brüche heißen unecht, wenn der Zähler größer ist als der Nenner.

Umwandlung gemischter in unechte Brüche

Beispiel für die Umwandlung

Der gemischte Bruch aus obigem Beispiel wird somit folgendermaßen in einen unechten Bruch umgewandelt.

Die ganze Zahl 2 wird mit dem Nenner 4 multipliziert und zum bisherigen Zähler 1 addiert.

Multiplikation der beiden Brüche

Nun können die beiden Brüche des Beispiels miteinander multipliziert werden.