Hier finden Sie die wichtigste Varianz-Formel und eine einfache Erklärung, wie man sie anwendet. Die Varianz ist die Grundlage für die Standardabweichung und beschreibt die Streuung einer Zahlenreihe.
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Inhalt
Formel: Varianz (Grundgesamtheit)
Für \(n\) Werte \(x_1, \dots, x_n\) und Mittelwert \(\bar{x}\) lautet die Varianz:
\(\mathrm{Var} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)
Formel: korrigierte Varianz (Stichprobe)
Für eine Stichprobe wird häufig durch \(n-1\) geteilt:
\(\mathrm{Var}_{korr} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)
Beispiel zur Varianz-Formel
Zahlenreihe: 1, 2, 3. Mittelwert \(\bar{x}=2\). Abweichungen: -1, 0, +1. Quadriert: 1, 0, 1.
\(\mathrm{Var}=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}\approx 0{,}6667\)
\(\mathrm{Var}_{korr}=\frac{1+0+1}{2}=1\)
Von der Varianz zur Standardabweichung
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:
\(\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}}\)
Bedeutung der Formelzeichen
- \(x_i\): der i-te Wert der Zahlenreihe (ein einzelner Messwert).
- \(\bar{x}\): Mittelwert (Durchschnitt) aller Werte.
- \(n\): Anzahl der Werte.
- \(\sum\): „Summe über alle Werte“, also \( (x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \dots\).
Der Teil \((x_i-\bar{x})^2\) ist die quadrierte Abweichung eines Wertes vom Mittelwert.
Schritt für Schritt: So wird die Formel genutzt
- Alle Werte \(x_1, \dots, x_n\) notieren.
- Den Mittelwert \(\bar{x}\) bestimmen.
- Für jeden Wert die Abweichung \((x_i-\bar{x})\) bilden.
- Jede Abweichung quadrieren: \((x_i-\bar{x})^2\).
- Alle quadrierten Abweichungen addieren.
- Durch \(n\) teilen (oder durch \(n-1\) bei der Stichprobe).
Typische Fehler
- Zu früh runden: Rundungen am Ende machen. Sonst entsteht schnell ein sichtbarer Rechenfehler.
- Vorzeichen: Erst quadrieren, dann addieren. Durch das Quadrieren werden negative Abweichungen positiv.
- Stichprobe vs. Grundgesamtheit: \(n\) und \(n-1\) nicht verwechseln.
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Quellenangaben
Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Mittelwert" verwendet:
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Diese Seite der Themenwelt "Mittelwert" wurde von mir, Stefan Banse, zuletzt am 30.03.2026 redaktionell überprüft oder ergänzt. Sie entspricht dem aktuellen Stand.
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