Hier zeigen wir Ihnen anhand eines ausführlichen Beispiels die Herleitung eines Dreiecks mit zwei bekannten Seiten und dem Winkel dazwischen (SWS).
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Beispiel zur Bestimmung eines Dreiecks (SWS)
Inhalt
Grundlagen für das Beispiel
Im Beispiel geht es um ein allgemeines Dreieck, bei dem zwei Seiten und der Winkel dazwischen bekannt sind. Diese Kombination nennt man SWS - S steht für Seite, W für Winkel.
Mit diesen drei Werten kann man das Dreieck schrittweise eindeutig ermitteln – denn laut den sogenannten Kongruenzsätzen ist es dadurch eindeutig bestimmt.
Gegeben
Gegeben sei die Seite a = 4 cm, die Seite b = 6 cm und der von beiden Seiten a und b eingeschlossene Winkel γ mit einem Wert von 70 Grad.
Gesucht
Gesucht ist die noch fehlende Seite c, der Umfang und die Fläche des Dreiecks, die übrigen beiden Winkel α und β sowie die Höhen zu allen drei Seiten.
Diese Werte können Sie im Dreieck-Rechner eingeben. Wählen Sie dazu die Option „Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS)“ unter „Welche Werte sind gegeben?“ aus. Der Rechner berechnet dann alle fehlenden Werte und zeigt auch eine grafische Darstellung des Dreiecks.
Wie wird die fehlende Seite im Dreieck bestimmt?
Mit den bekannten Werten für die Seiten a und b sowie den Winkel γ kann man die fehlende Seite c bestimmen. Dazu nutzt man den allgemeinen Kosinussatz.
Formel: Kosinussatz zu c
c² = a² + b² − 2ab × cos γ°
und umgestellt nach c
c = a² + b² − 2ab × cos γ°
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte a = 4, b = 6 und gamma = 70° ein, so erhält man
c = 4² + 6² − 2 × 4 × 6 × cos 70° ≈ 5,97
Lösung
Die fehlende dritte Seite c hat eine Länge von 5,97 cm.
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Wie wird der Umfang des Dreiecks bestimmt?
Mit den bekannten Seiten a und b und der ermittelten Seite c kann man jetzt ganz einfach den Umfang des Dreiecks bestimmen:
Formel: Umfang U eines Dreiecks
Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der Länge aller drei Seiten a, b und c.
U = a + b + c
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die gegebenen Werte a = 4 und b = 6 sowie den bereits ermittelten Wert für c = 5,97 ein, so erhält man
U = 4 + 6 + 5,97 = 15,97
Lösung
Der Umfang des Dreiecks beträgt 15,97 cm.
Wie wird die Fläche im Dreieck bestimmt?
Mit den bekannten Seiten a, b und der ermittelten Seite c kann man nun die Fläche des Dreiecks mit Herons Formel bestimmen.
Formel: Herons Formel
F = s(s − a)(s − b)(s − c)
wobei s = halber Umfang, also
s = (a + b + c) / 2
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte a = 4, b = 6 und c = 5,97 ein, so erhält man zunächst s mit
s = (4 + 6 + 5,97) / 2 = 7,98
Setzt man s = 7,98 in Herons Formel ein, so erhält man schließlich
F = 7,98(7,98 − 4)(7,98 − 6)(7,98 − 5,97)) ≈ 11,28
Lösung
Die Fläche F des Dreiecks beträgt 11,28 cm².
Wir bieten auch noch deutlich mehr Informationen zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
Wie erhält man die fehlenden Winkel im Dreieck?
Winkel α
Zuerst bestimmen wir den Winkel α. Dazu nutzen wir die bekannten Längen der Seiten a, b und c. Mit diesen Werten kann der allgemeine Kosinussatz für Seite a verwendet werden.
Formel: Kosinussatz zu Seite a
a² = b² + c² − 2bc × cos α
Stellt man den Kosinussatz um nach α, so erhält man
α = arccos( (b² + c² − a²) / 2bc )
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte a = 4, b = 6 und c = 5,97 ein, so erhält man
α = arccos((6² + 5,97² − 4²) / 2 × 6 × 5,97) = 0,68171 rad
Der gerade hergeleitete Wert ist das Bogenmaß (Radiant) des Winkels α, abgekürzt "rad". Die Umrechnung des Bogenmaßes nach Grad erfolgt über die Formel
Formel: Umrechnung von Radiant nach Grad
α° = α rad × 180 / π
Setzt man das Zwischenergebnis α rad ein, so erhält man
α° = 0,68171 rad × 180 / 3,14 ≈ 39,06°
Lösung
Der Winkel α des Dreiecks beträgt 39,06°.
Winkel β
Jetzt kennen wir den Winkel α, und der Winkel γ war bereits gegeben. Den fehlenden Winkel β können wir nun bestimmen – dafür nutzen wir den Winkelsummensatz.
Formel: Winkelsummensatz
Die Summe der drei Innenwinkel α, β und γ in einem Dreieck beträgt stets 180 Grad.
α° + β° + γ° = 180°
Stellt man den Winkelsummensatz um nach β, so erhält man
β° = 180° − α° − γ°
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man den bereits bekannten Winkel für α sowie den gegebenen Winkel γ ein, so erhält man
β° = 180° − 39,06° − 70° = 70,94°
Lösung
Der Winkel β des Dreiecks beträgt 70,94°.
Wie erhält man die Höhen in einem Dreieck?
Höhe zu a
Da jetzt alle Seiten und Winkel bekannt sind, kann man die Höhe zu Seite a mit folgender Formel bestimmen.
Formel für Höhe zu a
ha = c × sin β
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte für die bereits gegebene Seite c und den Winkel β ein, so erhält man
ha = 5,97 × sin 70,94° ≈ 5,64
Lösung
Die Höhe zu a, also ha beträgt 5,64.
Höhe zu b und Höhe zu c
Die beiden anderen Höhen kann man genauso bestimmen wie die Höhe zu Seite a. Für hb gilt etwa hb = a × sin γ. Für die Höhe zu c gilt die Formel hc = a × sin β. Wenn wir die konkreten Werte einsetzen, erhalten wir diese Ergebnisse für die restlichen Höhen:
Lösung
Die Höhe zu b, also hb beträgt 3,76.
Die Höhe zu c, also hc beträgt 3,78.
Grafik des konstruierten Dreiecks
Das berechnete Dreieck mit den Seiten a = 4 cm und b = 6 cm sowie dem eingeschlossenen Winkel γ = 70 Grad kann mit den ermittelten Werten wie folgt gezeichnet werden:
Abbildung Ergebnis
1 Kästchen entspricht 0,5 Einheiten (wie im Matheheft)
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Quellenangaben
Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Dreieck" verwendet:
Letzte Aktualisierung
Diese Seite der Themenwelt "Dreieck" wurde von mir, Michael Mühl, zuletzt am 11.02.2025 redaktionell überprüft oder ergänzt. Sie entspricht dem aktuellen Stand.
Änderungen in Themenwelt "Dreieck"
- Veröffentlichung eines Artikels zum Thema Berechnung gleichseitiger Dreiecke.
- Veröffentlichung eines Artikels zum Thema Flächeninhalt von Dreiecken und zu Rechtwinkligen Dreiecken.
- Veröffentlichung des Bereichs Dreieck berechnen nebst dazugehöriger Texte.
- Redaktionelle Überarbeitung dieser Seite