Hier zeigen wir Ihnen anhand eines ausführlichen Beispiels die Herleitung eines Dreiecks mit zwei bekannten Seiten und dazwischen liegendem Winkel (SWS).
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Beispiel zur Bestimmung eines Dreiecks (SWS)
Inhalt
Grundlagen für das Beispiel
Im Folgenden zeigen wir Ihnen ein Beispiel zur Bestimmung eines allgemeinen Dreiecks, bei dem zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel bekannt sind. Mit "S" als Abkürzung für Seite und "W" als Abkürzung für Winkel wird diese Konstellation gegebener Eigenschaften des Dreiecks auch mit "SWS" bezeichnet.
Anhand der gegebenen drei Werte können nun gemäß der sogenannten Kongruenzsätze ("Wann ist ein Dreieck deckungsgleich mit einem anderen?" bzw. "Wann ist ein Dreieck bis auf Verschiebungen oder Drehungen identisch mit einem anderen Dreieck?") die übrigen Eigenschaften des Dreiecks schrittweise eindeutig bestimmt werden.
Gegeben
Gegeben sei die Seite a = 4 cm, die Seite b = 6 cm und der von beiden Seiten a und b eingeschlossene Winkel γ mit einem Wert von 70 Grad.
Gesucht
Gesucht ist die noch fehlende Seite c, der Umfang und die Fläche des Dreiecks, die übrigen beiden Winkel α und β sowie die Höhen zu allen drei Seiten.
Diese Werte können Sie übrigens im Dreieck-Rechner nach Auswahl von "Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS)" unter "Welche Werte sind gegeben?" eingeben. Der Rechner berechnet dann - wie folgt - alle gesuchten Werte und gibt zudem ein grafisches Ergebnis des so ermittelten Dreiecks aus.
Wie wird die fehlende Seite im Dreieck bestimmt?
Anhand der gegebenen Größen für die Seiten a und b sowie für den Winkel γ kann die Länge der noch unbekannten dritten Seite c mit Hilfe des allgemeinen Kosinussatzes zu c bestimmt werden.
Formel: Kosinussatz zu c
c² = a² + b² − 2ab × cos γ°
und umgestellt nach c
c = a² + b² − 2ab × cos γ°
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte a = 4, b = 6 und gamma = 70° ein, so erhält man
c = 4² + 6² − 2 × 4 × 6 × cos 70° ≈ 5,97
Lösung
Die fehlende dritte Seite c hat eine Länge von 5,97 cm.
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Wie wird der Umfang des Dreiecks bestimmt?
Anhand der gegebenen Längen für die Seiten a und b sowie der inzwischen ermittelten Länge der Seite c kann der Umfang des Dreiecks folgendermaßen bestimmt werden.
Formel: Umfang U eines Dreiecks
Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der Länge aller drei Seiten a, b und c.
U = a + b + c
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die gegebenen Werte a = 4 und b = 6 sowie den bereits ermittelten Wert für c = 5,97 ein, so erhält man
U = 4 + 6 + 5,97 = 15,97
Lösung
Der Umfang des Dreiecks beträgt 15,97 cm.
Wie wird die Fläche im Dreieck bestimmt?
Anhand der gegebenen Längen für die Seiten a und b sowie der inzwischen bekannten Länge der Seite c kann die Fläche des Dreiecks mittels "Herons Formel" bestimmt werden.
Formel: Herons Formel
F = s(s − a)(s − b)(s − c)
wobei s = halber Umfang, also
s = (a + b + c) / 2
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte a = 4, b = 6 und c = 5,97 ein, so erhält man zunächst s mit
s = (4 + 6 + 5,97) / 2 = 7,98
Setzt man s = 7,98 in Herons Formel ein, so erhält man schließlich
F = 7,98(7,98 − 4)(7,98 − 6)(7,98 − 5,97)) ≈ 11,28
Lösung
Die Fläche F des Dreiecks beträgt 11,28 cm².
Wir bieten auch noch deutlich mehr Informationen zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.
Wie erhält man die fehlenden Winkel im Dreieck?
Winkel α
Zunächst bestimmen wir Winkel α. Anhand der gegebenen Längen für die Seiten a und b sowie der inzwischen bekannten Länge der Seite c kann als Grundlage für die Bestimmung von α der allgemeine Kosinussatz zu Seite a verwendet werden.
Formel: Kosinussatz zu Seite a
a² = b² + c² − 2bc × cos α
Stellt man den Kosinussatz um nach α, so erhält man
α = arccos( (b² + c² − a²) / 2bc )
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte a = 4, b = 6 und c = 5,97 ein, so erhält man
α = arccos((6² + 5,97² − 4²) / 2 × 6 × 5,97) = 0,68171 rad
Der gerade hergeleitete Wert ist das Bogenmaß (Radiant) des Winkels α, abgekürzt "rad". Die Umrechnung des Bogenmaßes nach Grad erfolgt über die Formel
Formel: Umrechnung von Radiant nach Grad
α° = α rad × 180 / π
Setzt man das Zwischenergebnis α rad ein, so erhält man
α° = 0,68171 rad × 180 / 3,14 ≈ 39,06°
Lösung
Der Winkel α des Dreiecks beträgt 39,06°.
Winkel β
Nun, da der Winkel α bestimmt ist und der Winkel γ ohnehin gegeben ist, kann der verbleibende Winkel β hergeleitet werden. Hierzu kann der Winkelsummensatz genutzt werden.
Formel: Winkelsummensatz
Die Summe der drei Innenwinkel α, β und γ in einem Dreieck beträgt stets 180 Grad.
α° + β° + γ° = 180°
Stellt man den Winkelsummensatz um nach β, so erhält man
β° = 180° − α° − γ°
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man den bereits bekannten Winkel für α sowie den gegebenen Winkel γ ein, so erhält man
β° = 180° − 39,06° − 70° = 70,94°
Lösung
Der Winkel β des Dreiecks beträgt 70,94°.
Wie erhält man die Höhen in einem Dreieck?
Höhe zu a
Da alle Seiten und Winkel inzwischen bekannt sind, kann zur Bestimmung der Höhe zu a die folgende Formel genutzt werden.
Formel für Höhe zu a
ha = c × sin β
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte für die bereits gegebene Seite c und den Winkel β ein, so erhält man
ha = 5,97 × sin 70,94° ≈ 5,64
Lösung
Die Höhe zu a, also ha beträgt 5,64.
Höhe zu b und Höhe zu c
Beide Höhen können analog zur Bestimmung der Höhe zu a hergeleitet werden. Für hb gilt etwa hb = a × sin γ. Für die Höhe zu c gilt die Formel hc = a × sin β. Nach Einsetzen der konkreten Werte erhalten wir folgende Ergebnisse für die verbleibenden Höhen.
Lösung
Die Höhe zu b, also hb beträgt 3,76.
Die Höhe zu c, also hc beträgt 3,78.
Grafik des konstruierten Dreiecks
Das so hergeleitete Dreieck mit vorgegebenen Seiten a = 4 cm und b = 6 cm und dem von beiden Seiten a und b eingeschlossenem Winkel γ = 70 Grad kann anhand aller ermittelten Werte folgendermaßen gezeichnet werden:
Abbildung Ergebnis
1 Kästchen entspricht 0,5 Einheiten (wie im Matheheft)
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Quellenangaben
Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Dreieck" verwendet:
Letzte Aktualisierung
Diese Seite der Themenwelt "Dreieck" wurde von mir, Michael Mühl, zuletzt am 11.02.2025 redaktionell überprüft oder ergänzt. Sie entspricht dem aktuellen Stand.
Änderungen in Themenwelt "Dreieck"
- Veröffentlichung eines Artikels zum Thema Berechnung gleichseitiger Dreiecke.
- Veröffentlichung eines Artikels zum Thema Flächeninhalt von Dreiecken und zu Rechtwinkligen Dreiecken.
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- Redaktionelle Überarbeitung dieser Seite