Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein besonderes Dreieck: Es hat - wie der Name sagt - einen rechten Winkel, also 90 Grad. Im nächsten Schritt zeigen wir an Beispielen, wie man alle wichtigen Werte mit den speziellen Formeln für rechtwinklige Dreiecke berechnen kann.
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Inhalte zum Thema "Rechtwinkliges Dreieck"
Inhalt
Definition und Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck
Ein Dreieck hat drei Ecken und drei Seiten. Die Ecken liegen nicht auf einer Linie. Die Strecken zwischen den Ecken sind die Seiten. Zusammen begrenzen sie eine dreieckige Fläche.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist besonders: Einer der drei Winkel ist ein rechter Winkel, also 90 Grad. In der Abbildung liegt der rechte Winkel bei Ecke C. Er wird mit dem griechischen Buchstaben γ (Gamma) bezeichnet. Die anderen beiden Winkel heißen α (Alpha) bei Ecke A und β (Beta) bei Ecke B.
Die Ecken heißen A, B und C (im Uhrzeigersinn). Die Seiten gegenüber dieser Ecken heißen a, b und c.
Was sind Katheten?
Die Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden. Liegt der rechte Winkel bei Ecke C, dann sind a und b die Katheten.
Was ist die Ankathete und die Gegenkathete?
Je nach Winkel nennt man eine Kathete:
- Ankathete, wenn sie am betrachteten Winkel anliegt
- Gegenkathete, wenn sie dem Winkel gegenüberliegt
Beispiel
- Beim Winkel α (bei Ecke A): b ist die Ankathete, a ist die Gegenkathete
- Beim Winkel β (bei Ecke B): a ist die Ankathete, b ist die Gegenkathete
Was ist die Hypotenuse?
Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. In der Abbildung ist das Seite c, weil der rechte Winkel bei Ecke C liegt. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck, denn der rechte Winkel ist der größte Winkel.
Einführung: So berechnet man rechtwinklige Dreiecke
Ein Dreieck kann eindeutig berechnet werden, wenn ein Winkel und die zwei Seiten, die an diesem Winkel liegen, bekannt sind. Beim rechtwinkligen Dreieck reicht es daher, wenn man nur die beiden Katheten kennt – also die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden. Der rechte Winkel macht viele Rechnungen einfacher als beim normalen Dreieck.
Zum Beispiel: In der Abbildung ist die Höhe zu Seite a gleich lang wie Seite b - und umgekehrt. Das heißt: Die Höhe zu einer Kathete ist die Länge der anderen Kathete.
Bei normalen Dreiecken braucht man für solche Höhen trigonometrische Formeln. Beim rechtwinkligen Dreieck geht das ohne - dank des rechten Winkels.
Beispiel zur Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks
Im nächsten Schritt zeigen wir ein Beispiel: Beide Katheten des rechtwinkligen Dreiecks sind bekannt. Mit diesen zwei Werten lassen sich alle anderen Eigenschaften des Dreiecks nach und nach genau berechnen.
Gegeben
Gegeben sei die Kathete a = 4 cm und die Kathete b = 5 cm. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist damit auch bereits der Winkel γ mit 90 Grad bekannt.
Gesucht
Gesucht ist die noch fehlende Seite c, der Umfang und die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, die übrigen beiden Winkel α und β sowie die Höhen zu allen drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks.
Diese Werte können Sie im Rechner zum rechtwinkligem Dreieck nach Auswahl von "Zwei Katheten bei rechtwinkligem Dreieck" unter "Welche Werte sind gegeben?" eingeben. Der Rechner berechnet dann - wie auch bei den folgenden Berechnungen - alle gesuchten Werte für das Dreieck und gibt zudem ein grafisches Ergebnis des berechneten Dreiecks aus.
Wie wird die Fläche im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Bei einem rechtwinkligen Dreieck umschließen die beiden bekannten Katheten (hier a und b) den rechten Winkel. Daher gilt die Formel
Formel für Fläche im rechtwinkligen Dreieck
F = ½ × a × b
Einsetzen der vorhandenen Werte für die Katheten
Setzt man die Werte für die Katheten ein, so erhält man
F = ½ × 4 × 5 = 10 cm²
Lösung
Die Fläche F des rechtwinkligen Dreiecks beträgt 10 cm².
Die verwendete Formel ist aufgrund des rechten Winkels zwischen den zwei bekannten Seiten eine Vereinfachung der Flächenformel für allgemeine Dreiecke, die hier im Rechner unter "Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel" verwendet wird.
Die Flächenformel für rechtwinklige Dreiecke lässt sich veranschaulichen, indem man das rechtwinklige Dreieck dupliziert und die beiden Dreiecke an ihrer längsten Seite - der Hypotenuse - so aneinander legt, dass ein Rechteck entsteht. Dieses Rechteck hat die Fläche a × b (Kathete a mal Kathete b). Somit hat das Dreieck vor dem Duplizieren genau die halbe Fläche, also ½ × a × b.
Wie wird die fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Wenn die beiden Katheten a und b sowie der rechte Winkel γ bekannt sind, kann man die fehlende Seite c - die Hypotenuse - berechnen. Dafür nutzt man den Satz des Pythagoras.
Formel: Satz des Pythagoras
a² + b² = c²
und umgestellt nach c
c = a² + b²
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte für die Katheten a = 4 und b = 5 ein, so erhält man
c = 4² + 5² ≈ 6,4
Lösung
Die Hypotenuse, also die fehlende dritte Seite c hat eine Länge von rund 6,4 cm.
Wie wird der Umfang im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Mit den bekannten Längen der Katheten a und b und der berechneten Hypotenuse c kann man den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks ganz einfach berechnen.
Formel: Umfang U eines rechtwinkligen Dreiecks
Der Umfang jedes Dreiecks ist die Summe der Länge aller drei Seiten a, b und c.
U = a + b + c
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die gegebenen Werte a = 4 und b = 5 sowie den bereits berechneten Wert für c = 6,4 ein, so erhält man
U = 4 + 6 + 6,4 = 16,4
Lösung
Der Umfang des rechtwinkligen Dreiecks beträgt 16,4 cm.
Wie werden die fehlenden Winkel im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Berechnung Winkel α
Wir berechnen zuerst den Winkel α: Die beiden bekannten Katheten sind a = 4 cm und b = 5 cm. Der Winkel α liegt an der Seite b und gegenüber von Seite a. Das heißt:
- b ist die Ankathete,
- a ist die Gegenkathete.
Formel zur Winkelberechnung von α im rechtwinkligen Dreieck
tan α = Gegenkathete α / Ankathete α = a / b
Stellt man die Formel nach α um, so erhält man mit der Umkehrfunktion des Tangens, dem Arcustangens arctan
α = arctan (a / b)
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte für die Gegenkathete a = 4 und die Ankathete b = 5 ein, so erhält man
α = atan (4 / 5) = 0,67474 rad
Zwischenlösung
Der Winkel α des Dreiecks beträgt 0,67474 rad.
Zuerst haben wir das Bogenmaß (Radiant) für den Winkel α berechnet - abgekürzt als „rad“. Mit einem Taschenrechner kann man den Winkel auch direkt in Grad umrechnen. Hier zeigen wir den Rechenweg Schritt für Schritt.
Die Umrechnung von Bogenmaß in Grad erfolgt mit folgender Formel:
Formel: Umrechnung von Radiant nach Grad
α° = α rad × 180 / π
Setzt man das Zwischenergebnis α rad ein, so erhält man
α° = 0,67474 rad × 180 / 3,14 ≈ 38,66°
Lösung
Der Winkel α des Dreiecks beträgt 38,66°.
Berechnung Winkel β
Nun, da der Winkel α berechnet ist und der rechte Winkel γ mit 90° ohnehin gegeben ist, kann der verbleibende Winkel β berechnet werden. Hierzu kann der Winkelsummensatz genutzt werden.
Formel: Winkelsummensatz
Die Summe der drei Innenwinkel α, β und γ in einem Dreieck beträgt stets 180 Grad.
α° + β° + γ° = 180°
Stellt man den Winkelsummensatz um nach β, so erhält man
β° = 180° − α° − γ°
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man den bereits berechneten Winkel für α sowie den gegebenen Winkel γ ein, so erhält man
β° = 180° − 38,66° − 90° = 51,34°
Lösung
Der Winkel β des Dreiecks beträgt 51,34°.
Wie werden die Höhen im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Höhe zu a und b
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe zur Kathete a genau so lang wie die andere Kathete, also Seite b. Das liegt daran, dass b senkrecht auf a steht und zum gegenüberliegenden Punkt A führt.
Genauso gilt: Die Höhe zu b ist gleich der Länge von a.
Formel für Höhe zu a im rechtwinkligen Dreieck
Die Höhe zu Kathete a ist gleich der Länge der zweiten Kathete b
ha = b
Formel für Höhe zu b im rechtwinkligen Dreieck
Die Höhe zu Kathete b ist gleich der Länge der zweiten Kathete a
hb = a
Lösung
Die Höhe zu a, also ha beträgt 5 cm und die Höhe zu b beträgt 4 cm
Höhe zu c
Zur Berechnung der Höhe zur Hypotenuse c kann nun die folgende Formel genutzt werden
Formel für Höhe zur Hypotenuse c im rechtwinkligen Dreieck
hc = a × sin β
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die bekannten Werte für a = 4 cm und für β = 51,34° ein, so erhält man
hc = 4 × sin 51,34° ≈ 3,12
Lösung
Die Höhe zu c, also hc beträgt 3,12 cm.
Wie sieht das berechnete rechtwinklige Dreieck aus?
Das so berechnete rechtwinklige Dreieck mit vorgegebenen Seiten a = 4 cm und b = 5 cm kann anhand aller berechneten Werte folgendermaßen gezeichnet werden:
Abbildung Ergebnis
1 Kästchen entspricht 0,5 Einheiten (wie im Rechenheft)
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Quellenangaben
Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Dreieck" verwendet:
Letzte Aktualisierung
Diese Seite der Themenwelt "Dreieck" wurde von mir, Michael Mühl, zuletzt am 30.11.2024 redaktionell überprüft oder ergänzt. Sie entspricht dem aktuellen Stand.
Änderungen in Themenwelt "Dreieck"
- Veröffentlichung eines Artikels zum Thema Berechnung gleichseitiger Dreiecke.
- Veröffentlichung eines Artikels zum Thema Flächeninhalt von Dreiecken und zu Rechtwinkligen Dreiecken.
- Veröffentlichung des Bereichs Dreieck berechnen nebst dazugehöriger Texte.
- Redaktionelle Überarbeitung dieser Seite