Dreieck berechnen

Gleichseitiges Dreieck berechnen

Thema Dreieck ﹣ Gleichseitiges Dreieck

Gegenüber allgemeinen Dreiecken ist ein gleichseitiges Dreieck ein spezielles Dreieck, da es drei genau gleich lange Seiten hat. Im Weiteren berechnen wir anhand eines Beispiels mit gegebener Seitenlänge die Fläche, den Umfang, die Winkel sowie die Höhen für das zu berechnende gleichseitige Dreieck. Dazu nutzen wir die speziell für gleichseitige Dreiecke vereinfachten Formeln und Berechnungsvorschriften.

Werbung

Auf der Seite zu unserem Dreieck-Rechner erhalten Sie übrigens zahlreiche Informationen zur Berechnung nicht nur gleichseitiger, sondern auch allgemeiner Dreiecke. Oder besuchen Sie unsere Ratgeber zu den Themen Flächeninhalt im Dreieck und Rechtwinklige Dreiecke.

Inhalte zum Thema "Gleichseitiges Dreieck"

Rechner ↑Inhalt ↑

Definition von gleichseitigen Dreiecken

Bezeichnungen gleichseitiges Dreieck Bevor wir näher auf die Berechnungen von gleichseitigen Dreiecken eingehen, hier zunächst noch eine kurze Definition für das gleichseitige Dreieck.

Grundsätzlich ist ein Dreieck definiert durch drei Punkte in der Ebene, welche nicht auf einer Geraden liegen. Die drei Punkte bilden die Ecken des Dreiecks. Jede Verbindungsstrecke zwischen zwei solchen Ecken ist eine Seite des Dreiecks. In der Ebene begrenzt das Dreieck somit eine Fläche.

Das gleichseitige Dreieck ist insofern speziell gegenüber einem allgemeinen Dreieck, als dass alle drei Seiten des Dreiecks gleich lang sind, wie die hier gezeigte Abbildung verdeutlicht.

Standardmäßig sind die Ecken im Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben A, B, C versehen. Die diesen Ecken gegenüberliegenden Seiten erhalten die korrespondierenden Kleinbuchstaben a, b und c, wobei bei einem gleichseitigen Dreieck meist alle drei Seiten mit a beschriftet werden.

Rechner ↑Inhalt ↑

Einführung zur Berechnung gleichseitiger Dreiecke

Gleichseitige Dreiecke unterscheiden sich von allgemeinen Dreiecken lediglich darin, das alle drei Seiten gleich lang sind. Grundsätzlich kann ein Dreieck u.a. genau dann eindeutig bestimmt werden, wenn alle drei Seiten a, b und c bekannt sind. Daher reicht es zur Berechnung eines gleichseitigen Dreiecks aus, wenn nur die eine Seite bekannt ist.

Beim gleichseitigen Dreieck mit gegebener Seite a werden darüber hinaus aber auch einfachere Berechnungen ermöglicht. Zum Beispiel sind alle drei Winkel im gleichseitigen Dreieck auch immer gleich groß und betragen stets 60 Grad. Ebenso erfolgt die Berechnung der Fläche im gleichseitigen Dreieck nach einer einfacheren Formel, als es z.B. beim allgemeinen Dreieck mit drei gegebenen Seiten a, b und c der Fall ist, wie wir im Folgenden sehen werden.

Rechner ↑Inhalt ↑

Beispiel zur Berechnung eines gleichseitigen Dreiecks

Im Weiteren zeigen wir Ihnen ein Beispiel zur Berechnung eines gleichseitigen Dreiecks, bei dem die Seitenlänge a bekannt ist. Anhand dieses einen gegebenen Wertes können nun die übrigen Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks schrittweise eindeutig bestimmt werden.

Gegeben

Gegeben sei die Seitenlänge a = 5 cm. Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, ist damit auch bereits der Wert aller drei Seiten bekannt.

Gesucht

Gesucht ist die Fläche, der Umfang, die Winkel sowie die Höhen zu allen drei Seiten des gleichseitigen Dreiecks.

Den gegebenen Wert zu Seite a können Sie im Rechner zum gleichseitigen Dreieck nach Auswahl von "Eine Seite bei gleichseitigem Dreieck" unter "Welche Werte sind gegeben?" eingeben. Der Rechner berechnet dann - wie auch bei den folgenden Berechnungen - alle gesuchten Werte für das Dreieck und gibt zudem ein grafisches Ergebnis des berechneten Dreiecks aus.

Rechner ↑Inhalt ↑

Wie wird die Fläche im gleichseitigen Dreieck berechnet?

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind, wie der Name schon sagt, alle drei Seiten gleich lang. Daher gilt die für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks folgende vereinfachte Formel, wobei a die Länge einer der Seiten ist

Formel für Fläche im gleichseitigen Dreieck

F = 3 / 4 × a²

Einsetzen des vorhandenen Werts für die Seitenlänge

Setzt man den Wert für a ein, so erhält man

F = 3 / 4 × 5² ≈ 10,83 cm²

Lösung

Die Fläche F des gleichseitigen Dreiecks beträgt 10,83 cm².

Rechner ↑Inhalt ↑

Wie wird der Umfang im gleichseitigen Dreieck berechnet?

Anhand der gegebenen Länge für eine Seite und damit aller drei Seiten, kann der Umfang des Dreiecks folgendermaßen bestimmt werden.

Formel: Umfang U eines gleichseitigen Dreiecks

Der Umfang jedes Dreiecks ist die Summe der Länge aller drei Seiten a, b und c.

U = a + b + c

Einsetzen des vorhandenen Werts

Setzt man den gegebenen Wert a = 5, der ja für jede der drei Seiten gilt ein, so erhält man

U = 5 + 5 + 5 = 15

Lösung

Der Umfang des gleichseitigen Dreiecks beträgt 15 cm.

Rechner ↑Inhalt ↑

Wie werden die Winkel im gleichseitigen Dreieck berechnet?

Lösung

In jedem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß und betragen jeweils 60°.

Rechner ↑Inhalt ↑

Wie werden die Höhen im gleichseitigen Dreieck berechnet?

Zur Berechnung der Höhe zu a im gleichseitigen Dreieck kann anstelle der komplizierteren Formel für allgemeine Dreiecke die folgende Formel genutzt werden

Formel für Höhe zu a im gleichseitigen Dreieck

ha = 3 / 2 × a

Einsetzen der vorhandenen Werte

Setzt man den bekannten Wert für a = 5 cm ein, so erhält man

ha = 3 / 2 × 5 ≈ 4,33

Lösung

Die Höhe zu a, also ha beträgt 4,33 cm.

Da die Seiten b und c genau so lang sind wie a, sind auch deren Höhen mit a identisch.

Rechner ↑Inhalt ↑

Wie sieht das berechnete gleichseitigen Dreieck aus?

Das so berechnete gleichseitigen Dreieck mit vorgegebener Seite a = 5 cm kann anhand aller berechneten Werte folgendermaßen gezeichnet werden:

Abbildung Ergebnis

Abbildung: Berechnetes gleichseitiges Dreieck aus Beispiel

1 Kästchen entspricht 0,5 Einheiten (wie im Rechenheft)

Quellenangaben

Insbesondere die Informationen folgender Quellen haben wir für die Themenwelt "Dreieck" verwendet:

Letzte Aktualisierung am 06.08.2022

Die Seiten der Themenwelt "Dreieck" wurden zuletzt am 06.08.2022 redaktionell überprüft durch Michael Mühl. Sie entsprechen alle dem aktuellen Stand.

Vorherige Änderungen am 11.04.2022

vgwort 9f8af81971b54565b260025dc72018e4